關於 Rijndael/AES sbox 多項式 (subBytes)
我最近讀到了一個關於 Rijndael 中*subBytes()*操作背後的不可約多項式的問題，它喚醒了我的好奇心：
為什麼 $ ,m(x) $ 被選為 $ ,x^8+x^4+x^3+x+1 $ ?
在引用問題的評論中，已經提到它是第一個完成任務的（不可約化為具有有限域而不是環，不是嗎？）。是的，這是真的，但事情就這麼簡單嗎？對任何其他財產有用嗎？
比方說，它有一個二元好奇心，是一個漢明權重 $ ,\lceil\frac{n}{2}\rceil $ 在哪裡 $ n $ 是以位為單位的長度。這是一個平衡的重量，可能沒有任何意義，也可能意味著什麼。
思考這個操作背後的數學，其他尺寸（ $ w $ ) 比 8 位（每個字），比方說 $ w=7 $ 第一個做這項工作的是 $ x^7+x+1 $ 第一個具有平衡的漢明重量 $ (x^7+x^4+x^3+x^2+1) $ 是完成這項工作的第五個。
我沒有看到他們建立的兩個領域之間有任何特殊性，但存在嗎？
我沒有看到他們建立的兩個領域之間有任何特殊性，但存在嗎？
首先，關於有限域的一個基本事實是，至多存在一個給定大小的有限域。鑑於兩者 $ x^7 + x + 1 $ 和 $ x^7 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 $ 都是不可約的，它們都產生相同的有限域。它們的不同之處在於表示；它們如何將特定的 GF(128) 欄位成員表示為位模式。例如，成員 0x02 在 $ x^7 + x + 1 $ 表示是與 0x1d 中相同的抽像元素 $ x^7 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 $ 表示。
所以，問題變成了“哪種表示在 AES 中具有優勢”？答案是“兩者都一樣好”；正如我在這個答案中討論的那樣，兩種表示都是等價的；可以調整 AES 結構的其餘部分，以使 AES 密碼作為一個整體起作用。
所以，原因是 $ x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 $ 被選中是因為它是詞彙量最小的；他們必須選擇一個，沒有理由一個多項式表示比其他任何一個更好；這只是一個武斷的選擇。