評估 S-box 的代數複雜度
在研究 AES S-box 的設計和理想屬性時，我了解到代數複雜性也是 S-box 的一個重要屬性，通常在評估 S-box 的屬性時會考慮它。
在閱讀了幾篇論文（例如APA）之後，我了解到代數複雜性基本上是代表該 S-box 的“代數方程”中出現的項數。
在做了一些研究（來源）之後，我知道有三種主要方法可以找到表示 S-box 的多項式方程，它們是：
- 拉格朗日插值
- 多項式線性化
- Q 元多項式推導
但老實說，我無法理解上述任何一種方法來找到給定 S-box 的代數方程。所以最終我可以評估它的代數複雜性。
因此，如果有人可以詳細解釋它（或相同的算法），那麼為它編寫程式碼對我來說真的很有幫助。或者，如果有其他方法（或程式碼）可以找到 AES S-box 的代數複雜性或代數方程，請分享。
**TL;DR:**給定一個 S-box ( $ n \times n $ ) ，我們如何評估它的代數方程或代數複雜性？
Sbox 的插值基於拉格朗日算法。以下三個步驟用於計算 S-box 的插值：
- 將 S-box 值表示為多項式系統，其中 P 和 C 是 S-box 輸入和輸出的多項式表示。
- M (N x N ) 是由 P 次冪多項式組成的矩陣。N 是 sbox 大小（8 位 sbox 為 256）
- 從以下等式求解 B：MB=C
# the Equation is M.B=C. # 1 p0 p0^2 p0^3 p0^4 p0^5 ....... p0^d # 1 p1 p1^2 p1^3 p1^4 p1^5 ....... p1^d # M= 1 p2 p2^2 p2^3 p2^4 p2^5 ....... p2^d # 1 p3 p3^2 p3^3 p3^4 p3^5 ....... p3^d # . # . # . # 1 pn pn^2 pn^3 pn^4 pn^5 ....... pn^d # size of M is dXn , d and n are equal for sbox, they are GF (2^8) (8-bit sbox) # Calculation steps. # 1. convert Sbox table to polynomial of input and output, vectors (P is input and C is output) # 2. calculate M table # 3. B=M.solve_right(C) #以下程式碼是 Rijndael S-box 的插值表示的實現
f=x^8+x^4+x^3+x^1+1 # irreducible polynomial L.<z>= GF(2^8,modulus=f) R=PolynomialRing(L,'x') N=256 M=matrix(L,N,N) S=[0x63, 0x7C, 0x77, 0x7B, 0xF2, 0x6B, 0x6F, 0xC5, 0x30, 0x01, 0x67, 0x2B, 0xFE, 0xD7, 0xAB, 0x76, 0xCA, 0x82, 0xC9, 0x7D, 0xFA, 0x59, 0x47, 0xF0, 0xAD, 0xD4, 0xA2, 0xAF, 0x9C, 0xA4, 0x72, 0xC0, 0xB7, 0xFD, 0x93, 0x26, 0x36, 0x3F, 0xF7, 0xCC, 0x34, 0xA5, 0xE5, 0xF1, 0x71, 0xD8, 0x31, 0x15, 0x04, 0xC7, 0x23, 0xC3, 0x18, 0x96, 0x05, 0x9A, 0x07, 0x12, 0x80, 0xE2, 0xEB, 0x27, 0xB2, 0x75, 0x09, 0x83, 0x2C, 0x1A, 0x1B, 0x6E, 0x5A, 0xA0, 0x52, 0x3B, 0xD6, 0xB3, 0x29, 0xE3, 0x2F, 0x84, 0x53, 0xD1, 0x00, 0xED, 0x20, 0xFC, 0xB1, 0x5B, 0x6A, 0xCB, 0xBE, 0x39, 0x4A, 0x4C, 0x58, 0xCF, 0xD0, 0xEF, 0xAA, 0xFB, 0x43, 0x4D, 0x33, 0x85, 0x45, 0xF9, 0x02, 0x7F, 0x50, 0x3C, 0x9F, 0xA8, 0x51, 0xA3, 0x40, 0x8F, 0x92, 0x9D, 0x38, 0xF5, 0xBC, 0xB6, 0xDA, 0x21, 0x10, 0xFF, 0xF3, 0xD2, 0xCD, 0x0C, 0x13, 0xEC, 0x5F, 0x97, 0x44, 0x17, 0xC4, 0xA7, 0x7E, 0x3D, 0x64, 0x5D, 0x19, 0x73, 0x60, 0x81, 0x4F, 0xDC, 0x22, 0x2A, 0x90, 0x88, 0x46, 0xEE, 0xB8, 0x14, 0xDE, 0x5E, 0x0B, 0xDB, 0xE0, 0x32, 0x3A, 0x0A, 0x49, 0x06, 0x24, 0x5C, 0xC2, 0xD3, 0xAC, 0x62, 0x91, 0x95, 0xE4, 0x79, 0xE7, 0xC8, 0x37, 0x6D, 0x8D, 0xD5, 0x4E, 0xA9, 0x6C, 0x56, 0xF4, 0xEA, 0x65, 0x7A, 0xAE, 0x08, 0xBA, 0x78, 0x25, 0x2E, 0x1C, 0xA6, 0xB4, 0xC6, 0xE8, 0xDD, 0x74, 0x1F, 0x4B, 0xBD, 0x8B, 0x8A, 0x70, 0x3E, 0xB5, 0x66, 0x48, 0x03, 0xF6, 0x0E, 0x61, 0x35, 0x57, 0xB9, 0x86, 0xC1, 0x1D, 0x9E, 0xE1, 0xF8, 0x98, 0x11, 0x69, 0xD9, 0x8E, 0x94, 0x9B, 0x1E, 0x87, 0xE9, 0xCE, 0x55, 0x28, 0xDF, 0x8C, 0xA1, 0x89, 0x0D, 0xBF, 0xE6, 0x42, 0x68, 0x41, 0x99, 0x2D, 0x0F, 0xB0, 0x54, 0xBB, 0x16] # rajS-box C=vector(L,N) P=vector(L,N) # step 1 for i in range(0,N): P[i]= (i) + z^1*(i>>1) + z^2*(i>>2) + z^3*(i>>3) + z^4*(i>>4) + z^5*(i>>5) + z^6*(i>>6) + z^7*(i>>7) C[i]= S[(i)] + z^1*(S[i]>>1) + z^2*(S[i]>>2) + z^3*(S[i]>>3) + z^4*(S[i]>>4) + z^5*(S[i]>>5) + z^6*(S[i]>>6) + z^7*(S[i]>>7) #print P #print C # step 2 for j in range(0,N): for i in range(0,N): M[j,i]= P[j]^i #step 3 B=M.solve_right(C) print B
我很高興偶然發現這個老問題。S盒由線性循環運算組成 $ \text{L} $ 由表示的非線性操作組成 $ \text{Inv}() $ 並在 8 位上以相反的順序添加十六進制數字 63 $ x $ . 自從 $ x $ 可以認為是一個元素 $ \text{F}_{2^8} $ , 的代數方程 $ \text{Inv}() $ 操作可以與操作一起編寫 $ \text{L} $ 並添加常數。所以專注於編寫代數 MQ 方程 $ x, \space y $ 其中 y=Inv(x)。這 $ \text{Inv}() $ 定義為 $ \text{Inv}(x)=x^{-1} $ 在場的時候 $ x\neq 0 $ 和 $ \text{Inv}(x)=0 $ 什麼時候 $ x=0 $ . 中的代數方程 $ x, \space y $ 是 $ xy^2-y=0, \space yx^2-x=0 $ . 這些滿足 $ \text{Inv}() $ 確切地。