如何在 GF(2)（布爾值）中執行 AES MixColumns 作為矩陣乘法？
AES MixColumns 是通過乘以一個 $ 4 \times 4 $ 矩陣和 AES 狀態的列（向量）。加法和乘法在 $ \operatorname{GF}(2^8) $ .
在論文White-box AES中，作者使用 $ 32 \times 32 $ 矩陣 $ \mathit{MC} $ 次 $ 32 \times 1 $ 向量結束 $ \operatorname{GF}(2) $ .
我的問題是這是怎麼回事 $ 32 \times 32 $ 構造矩陣？或者更一般地說，矩陣乘法如何 $ \operatorname{GF}(2^8) $ 映射到乘法 $ \operatorname{GF}(2) $ ?
假設我們必須計算 $ M\times x $ ， 在哪裡 $ M $ 是一個 $ n\times n $ 矩陣，和 $ x $ 是一個 $ n\times 1 $ 向量，所有條目 $ M $ 和 $ x $ 在 $ GF(2^8) $ .
我們有：
$$ M\times x = M \times \left( \begin{matrix} x_0 \ x_1 \ \vdots \x_{n-1}\end{matrix}\right) = M \times \left( \begin{matrix} x_0 \ 0\ \vdots \ 0\end{matrix}\right) \oplus M \times \left( \begin{matrix} 0 \ x_1 \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) \oplus M \times \left( \begin{matrix} 0 \ 0 \ \vdots \x_{n-1}\end{matrix}\right) $$ 寫每個 $ x_i $ 多項式格式： $ x_i = x_{i, 0} x^0 + x_{i, 1} x ^ 1 + \ldots x_{i, 7} x ^ 7, x_{i,j} \in \lbrace 0, 1 \rbrace $ ，相當於二進制形式： $ x_i = x_{i,0}x_{i,1}\ldots x_{i,7} $ （小端符號）。我們有：
$$ M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ x_i \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) = M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ \left(\begin{matrix} x_{i, 0} \ \vdots \ x_{i,7} \end{matrix} \right) \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) \ = M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ \left(\begin{matrix} x_{i, 0} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right) \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) \oplus M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ \left(\begin{matrix} 0 \ x_{i,1} \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right) \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) \oplus \ldots \oplus M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ \left(\begin{matrix} 0 \ 0 \ \vdots \ x_{i,7} \end{matrix} \right) \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) $$ （注意 $ \left(0, , \ldots x_{i,j} \ldots, 0 \right)^T $ 仍然被解釋為一個字節。） 現在，作為 $ x_{i,j} \in {0, 1} $ ，我們可以檢查：
$$ M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ \left(\begin{matrix} 0 \ \vdots \ x_{i,j} \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right) \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) = x_{i, j} \times M \times \left( \begin{matrix} 0 \ \vdots \ \left(\begin{matrix} 0 \ \vdots \ 1 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right) \ \vdots \ 0\end{matrix}\right) = x_{i, j} \times V_{i,j} $$ 因此：
$$ M \times x = \bigoplus_{0\leq i \leq n, 0\leq j \leq 7} x_{i, j} V_{i, j} $$ $ V_{i,j} $ 是一個 $ n\times 1 $ 向量，它的條目在 $ GF(2^8) $ . 我們可以檢查寫作 $ V_{i, j} $ 在 $ 8n\times 1 $ 二進制格式（我們稱之為 $ V’{i,j} $ ) 不會改變結果。所以我們有： $$ M \times x \mbox{ is equivalent to } \bigoplus{0\leq i \leq n, 0\leq j \leq 7} x_{i, j} V’{i, j} \ = (V’{0, 0}|| V’{0, 1} || \ldots || V’{n, 7}) (x_{0, 0}, x_{0, 1}, \ldots x_{n, 7})^T $$ 讓 $ MC = (V’{0, 0}|| V’{0, 1} || \ldots || V’{n, 7}) $ ，這是一個 $ 8n\times 8n $ 矩陣由 $ 8n\times 1 $ 向量，我們有： $$ M \times x \mbox{ is equivalent to } MC \times (x{0, 0}, x_{0, 1}, \ldots x_{n, 7})^T $$ 因此，我們將矩陣乘法轉換為 $ GF(2^8) $ 矩陣乘法 $ GF(2) $ .
感謝我的主管的這個答案。