Rijndael S-box：在哪裡μμmu和ννnu多項式環元素從何而來？
我之前問過一些關於 Rijndael 的 S-box 的其他問題，我正在逐步理解；但這些步驟經常引導我提出新問題。
我做了幾行程式碼來了解這些 S-box 是如何實現的 $ S(z) = f(g(z)) $ 在哪裡 $ g(z) $ 是多項式域中乘法逆的變換，並且 $ f(z) $ 仿射映射將單詞理解為表達式後面的多項式環中的元素。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} b(z) &= \mu(z) \cdot a(z) + \nu(z) \ &= (z^4+z^3+z^2+z+1) \cdot a(z) + (z^6+z^5+z+1) ;\bmod{(z^8+1)} \end{aligned} \end{equation} $$ 在“ AES 提案”（1999 年的第 2 版）中，第 7.2 節解釋說 $ \mu(z) $ 是從與 $ z^8+1 $ 作為描述最簡單的一個。但是什麼可以理解為“簡單描述”呢？選擇條件 $ \nu(z) $ 看起來很清楚（沒有固定點，也沒有相反的固定點，不是嗎？）。
如果我做得好，有 129 個互質多項式可以選擇 1（及其倒數），我看不出有什麼特別之處。 $ \mu(z) $ 有 5 個和它的倒數 $ \mu^{-1} (z) $ 有 3 個，並且還有其他配對候選者的關係為 3-3 或 5-5 的 1。對簡單性的另一種描述可能是回文表示，但事實並非如此。它們不是突出它們而不是其他的最短或最長的。是什麼讓他們被選中？
***Ps：***在提到的“ AES提案”中 $ \mu(z) $ 和 $ \nu(z) $ 不是上面的那些，也不是“ Rijndael 的設計”中第 3.4.1 節中顯示的那些，但這裡顯示的 2 個我已經複製了官方 S-box 和提及書 C 部分的表格。我會錯嗎？
根據收到的評論更新 20150320：
根據定義的“簡單性”標準來選擇 $ \mu(z) $ ，無法評估是什麼使 $ z^4+z^3+z^2+z+1 $ 特別的。該多項式唯一已知的要求是它必須在由下式定義的環中具有乘法逆 $ z^8+1 $ : 有 129 個元素是可逆的。
另一個參數 $ \nu(z) $ 有一個可評估的標準來進行選擇：它不能產生任何固定點，也不能產生相反的固定點。查了一下，環中滿足的多項式對的數量是 21717。一個很大的數字。在較短的視圖中，例如修復 $ \mu(z) $ , 可能的數量 $ \nu(z) $ 滿足秒標準的是 223。
甚至Rijndael通常都是儲存 S-Boxes 來實現的，計算時間看起來不太相關，但也許它們是，不是嗎？
在這些箱線圖中，表示每個候選對的平均計算。左側使用模組化產品，右側使用Rijndael文件中建議的 MDS 矩陣。
除了認為矩陣法一般來說並不好外，官方對的時間是用彩色圓點表示的。有很多更好的候選人。
我做了一個秒圖作為一個假設官方的分支 $ \mu(z) $ 有一些我看不到的特別之處。
這裡的數據集是 223 個不同的 $ \nu(z) $ 有 $ \mu(z)=z^4+z^3+z^2+z+1 $ . 再次注意 y 軸上的刻度。
官方對的計算時間也被繪製為彩色點。這裡是官方 $ \nu(z) $ 不顯示任何時間屬性。
這個測試的程式碼在 github的一個Rijndael項目中。從命令行可以通過呼叫 $ python Polynomials.py –test-ring=8來重複它，使用 R 製作的基本內容位於 Polynomials 子目錄中。
最後，我找到了源頭，並郵寄了Rijndael的作者。他們的回答非常快而且非常好。
我已經理解了相反的方式。仿射變換在向量空間上 $ ((GF(2))^8 $ 他們所說的簡單是，在所有可能的仿射變換之間，他們選擇了一個也可以描述為乘積和加法在模定義的環中 $ z^8+1 $ .
沒有數學論據可供選擇 $ \mu(z) $ 任何高於其他的可逆元素。而對於 $ \nu(z) $ 選擇會發生類似的事情，但這裡存在避免任何固定或相反固定點的限制。
那麼選擇一個或另一個的唯一參數可能是計算時間，但是一旦預先計算了 S-Box，它就不會提供任何額外的優勢。