了解 AES 規範中的乘法

我正在閱讀 AES 規範，但無法理解乘法定義（第 4.2 節）。

1. {01}{1b}在第 4.2 節中，為什麼選擇模數作為 $ 283 $ 並不是 $ 255 $ ? 不可約多項式是 $ m(x)=x^8 +x^4 +x^3 +x+1 $ . 這個看似隨機的選擇有什麼意義嗎？在後面的解釋中，它還說模運算產生的值可以用單個字節表示。如果模數被執行，這怎麼可能 $ 283 $ ?
2. 稍後在範例中的同一部分{57} • {83}計算為 $ x^{13} +x^{11} +x^9 +x^8 +x^6 +x^5 +x^4 +x^3 +1 $ - 這是 $ 11129 $ . 使用計算器，這似乎是錯誤的。它的出現 $ 11397 $ . 我錯過了什麼？
3. 在第 4.2.1 節中（乘以 $ x $ ）它說 - 它遵循乘以 $ x $ （即，{00000010}或{02}）可以在字節級別實現為左移和隨後的條件按位異或{1b}。

又來了，我不明白。據我了解，它應該是左移，然後是模數{01}{1b}。

有人可以向我解釋一下嗎？

1. 011b是多項式的十六進製表示 $ m(X) = X^8 + X^4 + X^3 + X + 1 $ （所以你永遠不應該把它當作一個整數）。該多項式在有限域中具有係數 $ \mathrm{GF}(2) $ ，這只是說它的係數在 $ {0,1} $ :

hex | 0    1    1    b
bin | 0000 0001 0001 1011
x^n |         8 7654 3210

-1位表示哪個功率的係數為 $ 1 $ . 當你取任何多項式並將其除以 $ m(x) $ , 有度 $ 8 $ ，餘數的度數小於 $ 8 $ ，所以使用與上面相同的表示方案，它可以用一個字節表示。 2. 57並且83同樣是使用相同方法的多項式的表示，我將留給您檢查當您將這兩個多項式相乘時，您確實找到了斷言的結果。 3. 你的理解是正確的，這兩個操作是一樣的。但同樣，請記住，您正在研究多項式，而不是整數。

*編輯：*了解 AES 操作的對象與您習慣的對象之間的區別很重要。當你想到一種只佔用一個字節的數據類型時，你會想到整數 $ {0,\dots,255} $ 使用通常的加法和乘法模數 $ 256 $ . 這些數字的問題在於，雖然它們具有我們習慣於進行加法的所有優良特性，但它們在乘法中卻失敗了：您可以取兩個非零數（哪些數？），將它們相乘，然後得到 $ 0 $ !

這對 AES 來說是不可接受的：它需要一個“不錯的”乘法運算，這意味著當您將兩個非零元素相乘時，您想要獲得一個非零元素。這個奇怪的多項​​式系統 $ m(X) $ 正是這樣做的。

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/14902