加法模數究竟是什麼2322322^{32}在密碼學中？
編輯：我一直對此感到困惑。我一直想說的是加法模 $ 2^{32} $ 不像問題最初所說的那樣加模32。感謝您指出這一點。
我找不到這方面的任何資訊，我真的很想知道。我們在類數論中討論過，在對除法算法做了一些證明之後，我們做了一些模運算。我的理解是加法模的定義 $ 2^{32} $ 是： $ a +_n b = (a + b) \bmod (n) $ .
因此，如果我將例如 27 添加到 8 模 32，我會得到類似 $ (27 + 8) \bmod (32) = (35) \bmod (32) = 3 $ .
這是正確的嗎？提到加法模時，這是否與雜湊算法相同 $ 2^{32} $ ? 為什麼我在任何地方都找不到這個？
為什麼沒有關於加法模數的詳細資訊的 Wikipedia 文章 $ 2^{32} $ 這是關於密碼學的討論？
我問這是否與談論的雜湊算法相同，因為據我所知，這裡的答案說在Java中加法模 $ 2^{32} $ 與簡單地寫“+”相同，但我認為簡單的總和不可能相同。我完全迷路了。
在密碼學中，加法模 $ n $ （在哪裡 $ n $ 是一個正整數，也許 $ n=32 $ 就像原來的問題一樣，或者 $ n=2^{32} $ 如在修改後的問題中）通常被理解為來自的應用程序 $ \mathbb Z\times \mathbb Z $ 到 $ \mathbb Z $ , $ (a,b)\mapsto c $ 和 $ c $ 這樣 $ 0\le c<n $ 和 $ (a+b-c) $ 是的倍數 $ n $ . 這也是數學中的常識，儘管結果可能是 $ \mathbb Z/n\mathbb Z $ （記起 $ \mathbb Z $ 是有符號整數的集合，而 $ \mathbb Z/n\mathbb Z $ 是關係的等價類的集合：等於模 $ n $ ).
我們可以寫 $ (a+b)\bmod n=c $ 使用
\bmod在 $ \TeX $ . 這暗示 $ a+b\equiv c\pmod n $ 使用\pmod在 $ \TeX $ , 但只有前者限制 $ c $ 在範圍內 $ [0\dots n-1] $ .當模數 $ n $ 是個 $ k $ - 次方 $ 2 $ ( $ n=2^k $ ), 加法模 $ n $ 也被稱為 $ k $ 位加法。因此，加法模 $ 32 $ 是相同的 $ 5 $ -位加法和加法模 $ 2^{32} $ 是相同的 $ 32 $ 位加法。
通常，在密碼學中，我們將數字同化為位串，然後輸出 $ c $ 運算符的不是數字，而是表示的位串 $ c $ 在基地 $ 2 $ （正好結束 $ \lceil \log_2n\rceil $ 位和最高有效位在前，除非另有說明）。
因此加法模的結果 $ 32 $ 的 $ 27 $ 和 $ 8 $ 是整數 $ 3 $ ，或 bitstring
00011，取決於上下文。和加法模的結果 $ 2^{32} $ 的 $ 2000000000 $ (0x77359400) 和 $ 3000000000 $ (0xB2D05E00) 是 $ 705032704 $ (0x2A05F200) 或比特環00101010000001011111001000000000，因為 $ 5000000000-705032704=2^{32} $ .有時輸入 $ a $ 或者 $ b $ 的運算符被限制為非負數，或/和小於 $ n $ , 或/和位串，可能是固定的或有限的大小。有時輸出範圍為 $ c $ 是 $ -n/2\le c<n/2 $ 而不是 $ 0\le c<n $ （例如，在缺少無符號 32 位類型的上下文中實現 32 位加法，見下文）。YMMV。
有一個關於模組化算術的維基百科條目，這是對該主題的更好介紹，但缺乏對加密和位串討論的專業化。
下面的討論完全是關於 Java 的（除了一些 Java Card 中的語言限制，它可能不支持 type
long甚至int），因此這裡有點離題，但是很好。當使用類型的變數時
long(alsoint,short,byte)(a+b)&0xffffffffL是a和b模的總和 $ 2^{32} $ 在密碼學意義上，類型為long. 該&0xffffffffL技術適用於運營商+ - * & | ^ ~（但不是% /）。它可以擴展到任何模數 $ n=2^k $ 和 $ 0\le k\le63 $ 通過調整常數，即 $ n-1 $ . 此外，當 $ 0\le k\le31 $ 我們可以刪除L, 如果兩者a和b都是類型int,short或者byte，結果將是類型int。對變數進行操作的運算符
+ - * & | ^ ~（但不是% /）的定義int是這樣的，您可以假設這些運算符以模數工作 $ 2^{32} $ 如密碼學中所定義，但范圍內的數字除外 $ [2^{31}\dots 2^{32}-1] $int在 Java中表示為否定。這使程式碼更清晰、更簡單、更快，並且（對於數組）節省了記憶體。使用該技術是因為在 Java 7 之前，Java 中沒有無符號類型。對於範圍內
n的類型int$ [1\dots2^{31}-1] $ 和操作數a和範圍內b的類型int$ [0\dots2^{30}-1] $ ,(a+b)%n是密碼學意義上的a和和b模數，類型為。這不適用於所有輸入操作數，原因有兩個：n``int
- 當運算符的左操作數
%為負數且不是右操作數的倍數時，結果為負數；(a+b)被定義為整數 $ c $ 和 $ -2^{31}\le c<2^{31} $ 和 $ c\equiv a+b\pmod{2^{32}} $ , 從中可以推斷出某個時候 $ (\mathtt{(a+b)%n})\not\equiv (a+b)\pmod n $ （儘管第二個問題在 $ n $ 是二的冪，包括 $ n=32 $ ).請注意，除了教育/測試目的之外，在 Java 中實現加密原語很少是一個好主意：在生產中，應該使用從 Java 呼叫的更有效的原語。