Authentication
有限域中的原根
Wen-Her Yang 和 Shiuh-Pyng Shieh提出了兩種使用智能卡的密碼認證方案，一種是基於時間戳的，另一種是基於隨機數的。他們的方案包括 3 個階段：註冊、登錄和認證階段。
考慮到基於時間戳的方案，註冊階段的第 3 步說：
找一個整數 $ g $ 這是兩者中的原始元素 $ \operatorname{GF}(p) $ 和 $ \operatorname{GF}(q) $ ， 在哪裡 $ g $ 是系統的公開資訊。
如果我們使用 $ g $ 那不是這兩個領域的原始元素嗎？這如何影響方案的安全性？
我自己認為，通過選擇一個 $ g $ 這不是一個原始元素，我們最終使用了一個較小的組，這可能會使攻擊者更容易解決離散對數問題 $ h_i=g^{\mathit{pw}_i\cdot d} $ 並獲得 $ \mathit{pw}_i\cdot d $ .
你是對的。一般來說，如果一個 $ g $ 不是原始元素 $ \operatorname{GF}(p) $ 它生成一個較小的子組 $ \operatorname{GF}(p)^{\ast}. $ 自從 $ |\operatorname{GF}(p)^{\ast}|=p-1 $ 能被 2 整除，這個子群的大小可以小到 2，它的大小可以取任何值 $ w, $ 在哪裡 $ w \mid (p-1). $