里德所羅門碼中的唯一解碼半徑
在一本編碼理論書籍中，我讀到 Reed Solomon 碼的唯一解碼半徑是 $ \frac{1-\rho}{2} $ . 準確地說，如果相對距離小於這些量，則接收器能夠唯一地重構有雜訊的接收碼字。而對於較大量的相對距離，存在更接近接收到的碼字而不是原始碼字的其他碼字。
這個界限是如何計算的？
讓線性塊編碼 $ C $ 與最小距離 $ d_{min} $ 對於每個整數，這個數量要麼是奇數，要麼是偶數 $ t $ 我們可以定義以下不等式： $$ \begin{equation} 2t+1 \leq d_{min} \leq 2t+2 \end{equation} $$ 認為 $ W $ 是程式碼中的所有程式碼字 $ C $ 除了 $ V $ 這是原始碼字以及通道和 $ r $ 是接收到的碼字。因此，滿足以下根據著名引理之一的不等式。 $$ \begin{equation} d(V,r)+d(r,W) \geq d(V,W) \end{equation} $$ 自從 $ V $ , $ W $ $ \in $ $ C $ , $$ \begin{equation} d(V,W) \geq d_{min} \geq 2t+1 \end{equation} $$ 現在，假設之間的錯誤數 $ V $ 和 $ r $ 是 $ l $ IE $ d(V,r)=l $ . 所以 $$ \begin{equation} d(r,w) \geq 2t+1-l \end{equation} $$ 如果 $ l $ $ \leq $ $ t $ 然後 $$ \begin{equation} d(r,w) \geq t \end{equation} $$
換句話說，如果發送碼字和接收碼字之間的錯誤數小於 $ t $ 所以程式碼字 $ V $ 是最接近的程式碼字 $ r $ 比程式碼中的所有其他程式碼字 $ C $ . IE $$ \begin{equation} d(V,r) < \frac{d_{min}-1}{2} \end{equation} $$
我們可以將這個界限推廣到所有線性分組碼，例如 Reed Solomon 碼。這 $ d_{min} $ 對於 RS 程式碼是 $ n-k+1 $ 所以我們可以得出結論： $$ \begin{equation} d(V,r) < \frac{n-k+1-1}{2}=n\frac{1-\frac{k}{n}}{2} \end{equation} $$ 所以 $$ \begin{equation} \delta < \frac{1-\rho}{2} \end{equation} $$
正是RS碼唯一獲得原始碼字的界限。