用 16 位 CRC 實現 32 位驗證碼？
我正在編寫具有硬體 16 位 CRC 模組的嵌入式晶片。我必須保護一些數據字節 $ d_0,d_1,…,d_{n-1} $ 反對因突然失去權力而引起的腐敗；32 位 CRC 可以提供我需要的保護級別，但晶片沒有這種能力。
不幸的是，CRC 模組使用了一個無法更改的硬編碼多項式。而且我需要盡可能快的計算。也許基於表的 CRC 算法足夠快，但表會佔用 1 KB 的 ROM，如果可以的話，我想避免這種情況。
所以我的問題是：我能以某種方式使用這個硬體 CRC-16 模組來達到我需要的安全級別嗎？
我目前的想法是計算 $ CRC_{\mathrm{forward}} $ ，數據字節的CRC-16 $ d_0,d_1,…,d_{n-1} $ ， 和 $ CRC_{\mathrm{backward}} $ ，數據字節的CRC-16 $ d_{n-1},d_{n-2},…,d_0 $ , 並簡單地連接這兩個 16 位 CRC 以創建一個 32 位 EDC。這足夠了嗎？或者這兩個CRC在某種意義上是依賴的？
更準確地說：假設 $ D $ 是數據，並且 $ E $ 是一個損壞的版本 $ E \ne D $ . 然後我想要機率 $ CRC_{\mathrm{forward}}(E) = CRC_{\mathrm{forward}}(D) $ 獨立於機率 $ CRC_{\mathrm{backward}}(E) = CRC_{\mathrm{backward}}(D) $ . 這是這種情況，還是我錯過了什麼？
**編輯添加：**如果差異 $ E \oplus D $ 是回文的，並且 $ CRC_{\mathrm{forward}}(E) = CRC_{\mathrm{forward}}(D) $ ， 然後 $ CRC_{\mathrm{backward}}(E) = CRC_{\mathrm{backward}}(D) $ . 所以這個想法是行不通的。有人有更好的主意嗎？
CRC 基於不可約多項式，多項式的選擇由要檢測的錯誤類型驅動（例如，乙太網的 CRC 32 對於單比特和雙比特錯誤以及更多典型的雜訊傳輸類型的錯誤是“好”的） . 作為一般規則，所有 CRC 都可以很好地檢測達到一定數據量的單個位（乙太網 CRC 32 約為 11 Kbit）。
可以看出 CRC 對由您的數據 d0, d1 … dn 製成的大量數進行了模運算。如果您擔心碰撞（即來自不同數據集的相同模數）。你可以猜到一些殘留物，比如你的回文案，這讓你感覺很糟糕。但是您不必擔心，因為無論您做出何種選擇，您總是會得到相同數量的殘留碰撞，但是因為您無法輕易猜到它們，您會產生安全級別提高的錯誤印象。
當應用於隨機數據時，多項式 CRC 是所有散列方法中最公平的。
兩次使用您的 crc 時，您可以移動數據，它只會移動 crc 值。您可以旋轉輸入數據，它會旋轉 crc 值。您可以通過對常量進行異或來屏蔽輸入數據，它只會將 crc 與常量異或。您也可以鏡像數據，這將鏡像殘留物。如果在第一次 crc 計算中出現取消的錯誤，它們很可能會在第二次 crc 計算中取消。
這是一個加密論壇，也許您可以使用您的輸入數據作為 feistel 密碼的密鑰並使用固定常量作為輸入數據，例如參見 http://en.wikipedia.org/wiki/Feistel_cipher中的圖片，映射您的值 d0， d1 .. dn 到 K0，K1，Kn，並選擇 2 個常數作為 L0 和 R0，並添加 3 個終端輪。您的輸出值 LN 和 Rn 是您的數據的雜湊值。如果它是加密質量的，那麼它必須適合散列。
但是在所有情況下，您將 N 個輸入位映射到 C 個輸出位，衝突的風險是不變的。您唯一可以希望的是單個位錯誤在輸出位內有更好的擴散。
現在，您可能會期望在斷電後會出現某種類型的修改數據，或者您的數據不是“隨機的”，例如大量歸零位。在這種情況下，您可以考慮第二種不同的簡單算法。位奇偶校驗？簡單的字節總和？最簡單的一種是 adler32。眾所周知，增量更改是“壞”的（希望由多項式 CRC 覆蓋），但對零小數據是“好”的。這完全取決於您要保護的數據類型（例如具有小值的計數器）和您要檢測的錯誤類型（斷電後重置為 0xaa55）。