對過度拉伸 NTRU 的子域攻擊中的規範包含圖
我試圖了解對過度拉伸 NTRU 的子域攻擊。在論文https://eprint.iacr.org/2016/127.pdf中， 作者使用“規範包含圖”將向量提升到全格。相對於有限域的規範包含圖是什麼意思？我在哪裡可以閱讀更多關於這種結構的資訊？
什麼時候 $ \mathbb{L} $ 是一個子集（或可以被視為一個子集） $ \mathbb{K} $ ，規範包含映射只是意味著“取一個元素 $ \mathbb{L} $ 並將其視為元素 $ \mathbb{K} $ ”。
一般來說，我們是隱含的，沒有必要考慮它。例如，當我們乘以一個實數 $ r $ 由一個複數 $ a + bi $ ，我們實際上是代表 $ r $ 作為 $ r + 0i $ 並使用複數乘法。
最有可能的是，作者明確定義了這張地圖以保持正式，因為 $ \mathbb{L} $ 和 $ \mathbb{K} $ 當作為向量空間查看時具有不同的維度 $ \mathbb{Q} $ ，因此他們希望確保不會混淆如何計算範數和其他元素的數量 $ \mathbb{L} $ 當我們將它們用作 $ \mathbb{K} $ .
例如，如果 $ \mathbb{L} := \mathbb{Q}(\sqrt 2) $ 和 $ \mathbb{K} = \mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 5) $ , 那麼, 的元素 $ \mathbb{L} $ 是形式 $ a_0 + a_1\sqrt 2 $ 和那些 $ \mathbb{Q} $ 是 $ a_0 + a_1\sqrt 2 + a_2\sqrt 5 + a_3\sqrt{10} $ . 而且， $ \mathbb{L} $ 可以看作是一個維數的向量空間 $ 2 $ 和 $ \mathbb{K} $ 作為維向量空間 $ 4 $ 超過 $ \mathbb{Q} $ .
因此，很明顯，我們可以看到元素 $ \mathbb{L} $ 作為元素 $ \mathbb{K} $ 和 $ a_2 = a_3 = 0 $ . 因此，當您使用來自 $ \mathbb{L} $ 至 $ \mathbb{K} $ ，您還採用維度向量 $ 2 $ 並將它們用作維度向量 $ 4 $ .
綜上所述，請注意作者並沒有簡單地使用規範包含圖來提升 $ \mathcal{O}{\mathbb{L}} $ 至 $ \mathcal{O}{\mathbb{K}} $ ，因為他們希望在提升後保證某些屬性（例如提升的元素是秘密 NTRU 向量的倍數 $ (f, g) $ 並且很小）。