證明如果每個密鑰都以 1/312 的相等機率使用，則 Z26 上的仿射密碼具有完美保密性
證明如果每個密鑰都以 1/312 的相等機率使用，則 Z26 上的仿射密碼具有完全保密性。
如果不確定如何開始證明，將不勝感激只是一些有關此問題的指導/幫助。非常感謝！
我認為這通常更適合作為評論，但您正在尋找指導而不是完整的答案，而且我沒有足夠的聲譽來發表評論。
我強烈推薦克勞德香農的介紹（字面介紹，他提出了這個概念）你提出的問題。這是論文（PDF），該部分是 Pg 的第 10 部分。679. 你的問題的更廣泛的陳述是定理 6，但他（一如既往）在接近定理的動機和證明方面做得非常出色，後者他以相對非正式的方式給出.
讓我們首先記住什麼是仿射密碼：
讓 $ P = C = \mathbb{Z_{26}} $ 然後讓
$$ K = {(a,b) \in \mathbb{Z_{26} \times}\mathbb{Z_{26} : gcd(a,26) = 1 }} $$
為了 $ K = (a,b) \in K $ ， 定義
$$ e_k(x) = (ax+b) \mod 26 $$
和 $ d_k(y) = a^{-1} (y- b) \mod 26 $ 為了 $ x,y \in \mathbb{Z_{26}} $ .
現在，讓我們看看解決方案：
有 312 個密鑰，到期到期 $ 12 \times 26 = 312 $ ，這是 12，因為有 26 模 26 有 12 個互質數，並且 $ b $ 可以是任何數字 $ \mathbb{Z_{26}} $ . 現在，讓我們選擇一個密鑰和一個加密，得到一個密文，對所有可能性求和，我們得到：
$$ \Pr[y] = \sum_{k \in K} \Pr[k] \Pr[d_k(y)] = 12/312\Pr[a] + … + 12/312 \Pr[z] $$
$$ = 1/26 \cdot(\Pr[a] +…+\Pr[z]) = 1/26 $$
根據貝氏定理，我們有：
$$ \Pr[x|y] = \frac{\Pr[x]\Pr[y|x ]}{\Pr[y]} = \frac{\Pr[x]1/26}{1/26} = \Pr[x] $$
Obs.：有 12 個密鑰可以加密 $ x $ 到 $ y $ ，這就是我們有 12/312 的原因，還要注意對於每個 $ a $ ， 鑰匙 $ (a, y-ax) $ 加密 $ x $ 到 $ y $ .