拉普拉斯機制證明：為什麼這個產品運算元？
下面的等式顯示了差分隱私的拉普拉斯機制的證明。我不了解產品運營商，這是一個普遍的規則嗎？
$$ \frac{p_x(z)}{p_y(z)} = \prod_{i=1}^{k}\left(\frac{exp(-\frac{\varepsilon |f(x)_i - z_i|}{\Delta})}{exp(-\frac{\varepsilon |f(y)_i - z_i|}{\Delta})}\right) $$
儘管 $ p_x $ 和 $ p_y $ 表示機制的pdf $ \mathcal{M}_L(x,f,\varepsilon) $ 和 $ \mathcal{M}_L(y,f,\varepsilon) $ 分別。重要的是要注意 $ x $ 和 $ y $ 是鄰居數據集。 $ x, y, z \in \mathbb{R}^k $
先感謝您。
拉普拉斯機制的定義： $$ \mathcal{M}_L(x, f(\cdot), \varepsilon) = f(x) + (Y_1,\ldots,Y_k) $$ 每一次 $ Y_i \sim Lap(\Delta f/\varepsilon) $ 它們彼此獨立。所以我們可以使用邊際的乘積來計算它們的聯合機率。
據我們所知 $ p_x = \mathcal{M}_L(x,f,\varepsilon) $ 和 $ z \in \mathbb{R}^k $ ，因此可以這樣做：
$$ p_x(z) = \frac{\varepsilon}{2\Delta f} exp\left(-\frac{\varepsilon |f(x) - z|}{\Delta f}\right) = \prod_{i=1}^k \frac{\varepsilon}{2\Delta f} exp\left(-\frac{\varepsilon |f(x)_i - z_i|}{\Delta f}\right) $$
我認為這就是答案。