離散對數的索引演算

我正在研究離散對數的指數微積分方法。在 Trappe 的“Introduction to Cryptography with Coding Theory”一書中，它被告知，如果$$ \alpha^k\equiv \prod p_i^{a^i} \mod p $$成立，那麼$$ k\equiv \sum a_i L_\alpha(p_i) \mod (p-1). $$但是，它沒有說明原因。你能給我解釋一下嗎？

給定$$ \alpha ^{k}\equiv \prod p_{i}^{a^{i}} \mod p $$

拿 $ \log $ 雙方的基地 $ \alpha $

$$ \begin{align} \log_\alpha(\alpha ^{k}) &\equiv \log_\alpha(\prod p_{i}^{a^{i}}) \mod p\ k &\equiv \sum \log_\alpha(p_{i}^{a^{i}}) \mod p-1 \quad\text{;by Little Fermat}\ k &\equiv \sum a_i \log_\alpha(p_{i}) \mod p-1\ \end{align} $$

這裡 $ \log_{\alpha} = L_{\alpha} $ .

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/75833