是子集的成員和Z/pZ從/p從mathbb{Z}/pmathbb{Z}已知（與Gn模pGn反對pg^n bmod p)?是不是一直反對磷=0反對磷=0mod P = 0?
讓 $ P $ 成為素數並且 $ g $ 之間的值 $ 2 $ 和 $ P $ .
讓 $ M $ 是可以生成的一組數字 $ g $ :
$$ M = {g^n\bmod P, \text{ with } 0 < n <P } $$ 如果 $ g $ 是一個素根 $ P $ 所有值 $ 1 $ 至 $ P-1 $ 可以生成。
這些總和將是：
$$ S=\sum M = \sum_{n=1}^{P-1} (g^n \bmod P) = \sum_{n=1}^{P-1} n= (P/2)\cdot (P-1) $$
是否還有值的公式 $ g $ 不是的素根 $ P $ ?
（所以對於發電機 $ g $ 只能生成一個子集 $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ )
**問題：**這樣一個子集的確切總和是多少？
部分解決方案：
在測試期間，我注意到這個總和的一個因素 $ S $ 似乎是 $ P $ .
所以 $$ S = \sum M = c \cdot P $$ 有了這個 $$ 0 \equiv S \bmod P $$
總是這樣嗎？編輯：似乎是這樣，請參閱 runway44 的評論（編輯結束）
任何計算這個因素的方法 $ c $ ?
例子： $ g=13, P=23 $
和 $ g=13 $ 只有一半的數字 $ \mathbb{Z}/23\mathbb{Z} $ 可以生成：
$ M = {13,8,12,18,4,6,9,2,3,16,1} $
和 $ S=\sum M = 92 $ ，即 $ 4 \cdot P $
為什麼 $ 4 $ 次？有什麼方法可以計算這個因素？
（我觀察 $ S=c\cdot P $ 對於某個整數 $ c $ .) 總是這樣嗎？
是的。證明如下。
如果 $ g=P $ 然後 $ S=0 $ . 我們將在下面忽略這種特殊情況。
套裝 $ M $ 有 $ k $ 元素，與 $ k $ 最小的嚴格正整數 $ g^k\equiv1\pmod P $ . 這個 $ k $ 被稱為順序 $ g $ 模組 $ P $ . 這個 $ k $ 劃分 $ P-1 $ . $ M $ 也是 $ {g^n\bmod P, \text{ with } 0 \le n <k } $ ，並且在後面的定義中 $ g^n\bmod P $ 是不同的。
它遵循 $ \displaystyle S=\sum_{n=0}^{k-1}\left(g^n\bmod P\right) $ .
所以 $ \displaystyle S\equiv\left(\sum_{n=0}^{k-1}g^n\right)\pmod P $ .
$ g\ne 1 $ . 所以 $ \displaystyle S\equiv\frac{g^k-1}{g-1}\pmod P $ .
它擁有 $ g^k-1\equiv0\pmod P $ . 自從 $ P $ 是素數並且 $ g\in[2,P] $ , $ g-1\ne0\pmod P $ .
所以 $ S\equiv0\pmod P $ . 那是 $ \exists c\in\Bbb Z, S=c\cdot P $
任何計算這個因素的方法 $ c $ ?
如果 $ k $ 是偶數，那麼 $ c=k/2 $ . 論據：如果 $ k $ 是均勻的並且 $ x\in M $ , 可以證明 $ x’=P-x\in M $ . 我們可以將元素配對 $ M $ 進入 $ k/2 $ 每個總和的對 $ P $ .
如果 $ k $ 很奇怪， $ c\approx k/2 $ 仍然成立。一個啟發式的論點是 $ S $ 是總和 $ k $ 關於隨意分佈的術語 $ [1,P-1] $ ，因此關於 $ P/2 $ 一般。這是我能說的最好的了。
筆記：