離散對數和自然對數有什麼區別？
為什麼我們採取（基地 $ e $ ) 和 (base 2) 分別是自然對數和離散對數？
我不明白這兩個概念之間的區別。
首先讓我們考慮對數 $ \mathbb{R} $ .
你知道，如果我們有 $ e^x = y $ 然後 $ x = \ln y $ . Napierian 對數返回值 $ \mathbb{R} $ .
你可以在另一個基地擁有同樣的東西。例如 ： $ 2^3 = 8 $ 和 $ \log_2 8 = 3 $ .
離散對數的簡化思想是只返回整數 ( $ \mathbb{Z} $ ).
在 $ \mathbb{R} $ ， 我們有 $ \log_2 5 = 2.321\ldots $ . 這對我們來說並不有趣。難以操縱…這如何轉化為 Integer ？
讓我們考慮一下所有數字都必須低於某個素數的整數 $ p = 11 $ .
讓我們還考慮唯一允許的操作是乘法： $ \times $ .
因此我們有：
$ 3 \times 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11} $
等等。
這種結構稱為以素數p為模的乘法群。它的符號如下 $ \mathbb{Z}p^\times $ . 在這種情況下，我們有 $ \mathbb{Z}{11}^\times $
讓我們考慮一下 $ g=2 $ 並應用指數 ( $ g^n = g \times \ldots \times g $ ) :
$ 2^0 \equiv 1 $
$ 2^1 \equiv 2 $
$ 2^2 \equiv 4 $
$ 2^3 \equiv 8 $
$ 2^4 \equiv 2\times 2^3 \equiv 2 \times 8 \equiv 16 \equiv 5 \pmod{11} $
$ 2^5 \equiv 2\times 2^4 \equiv 10 \pmod{11} $
$ 2^6 \equiv 2\times 2^5 \equiv 9 \pmod{11} $
$ 2^7 \equiv 2\times 2^6 \equiv 7 \pmod{11} $
$ 2^8 \equiv 2\times 2^7 \equiv 3 \pmod{11} $
$ 2^9 \equiv 2\times 2^8 \equiv 6 \pmod{11} $
$ 2^{10} \equiv 1 \pmod{11} $
這稱為生成器的循環群 $ g $ （這裡是 2）：經過一定次數的冪運算，我們就有了循環。
現在讓我們回到我們的問題： $ \log_2 5 = ? $
在 $ \mathbb{Z}{11}^\times $ 正如我們所擁有的 $ 2^4 \equiv 5 \pmod{11} $ ，因此在 $ \mathbb{Z}{11}^\times $ , $ \log_2 5 = 4 $ .
離散對數中的離散是指我們在離散組中工作的方面，而不是任何實數。