區分聯合機率分佈
假設我們有一個機率分佈 $ P(X,Y) $ 對於隨機變數的聯合機率 $ X $ 和 $ Y $ . 讓 $ P(Y, Z) $ 是類比分佈 $ Z $ 和 $ Y $ . 基於這些，我們可以定義一個聯合機率分佈 $ P(X,Y,Z) $ .
讓， $ P’(X,Y) $ 和 $ P’(Y,Z) $ 是類似的機率分佈，其中已知 $ P’(X,Y) $ 在計算上無法區分 $ P(X,Y) $ 和 $ P(Y, Z) $ 在計算上無法區分 $ P’(Y,Z) $ . 基於這些，我們定義了一個聯合機率分佈 $ P’(X,Y,Z) $ .
初始分佈的不可區分性條件是否意味著 $ P(X,Y,Z) $ 在計算上無法區分 $ P’(X,Y,Z) $ ?
顯然不是; 可以輕鬆定義機率分佈 $ P $ 和 $ P’ $ 這樣 $ P(X,Y)=P’(X,Y) $ 和 $ P(Y,Z)=P’(Y,Z) $ ， 但 $ P(X,Y,Z) \ne P’(X,Y,Z) $
舉一個這樣的例子，取 $ P $ 是機率區分哪裡 $ X $ , $ Y $ 和 $ Z $ 是均勻且獨立分佈的布爾變數；和 $ P’ $ 是機率分佈 $ X $ 和 $ Y $ 是均勻且獨立分佈的布爾變數，並且 $ X=Z $ 機率為 1。
現在， $ P(X,Y)=P’(X,Y) $ （因為在這兩種機率分佈中，布爾變數的每個可能組合都將以 0.25 的機率出現），並且類似地 $ P(Y,Z)=P’(Y,Z) $ .
然而， $ P(X,Y,Z) \ne P’(X,Y,Z) $ 以一種計算簡單的方式，因為使用機率分佈的單個樣本，我們可以檢查是否 $ X = Z $ （可以猜到 $ P $ 如果它是假的，並且 $ P’ $ 如果是真的）；這給了我們一個成功率很高的區分器。