第二個 EC 私鑰可以從公鑰派生嗎？
我了解公鑰不會公開私鑰。那不是問題。
問題是：給定一個 EC 公鑰，是否可以派生一個不同但合理且實用的私鑰來匹配公鑰？
換句話說：
在基本算術中，如果你知道
a x b = c，並且你知道任何兩個變數，那麼你可以計算第三個。但是在 ECC 中，我們有一個公鑰q、一個眾所周知的點G和一個私人號碼d。公鑰是通過ECPoint q = CreateBasePointMultiplier().Multiply(parameters.G, d) 從私鑰派生而來的；. 我必須假設Multiply是一種特殊形式的乘法，這樣知道q和G不導致知道d。也許它本質上是在有限域上循環多次，或者類似的東西。但是可以選擇不同的私鑰來產生相同的公鑰嗎？換句話說，具體來說，讓 Alice 和 Bob 都有 ECDH 密鑰對，並交換公鑰。他們每個人都記住對方的公鑰以供以後驗證。當有人向愛麗絲聲稱“我是鮑勃，這是我的公鑰”時，愛麗絲確認公鑰與她所記得的相符，然後她向他提出質疑，“好的，證明它。這是我（愛麗絲）的公鑰。使用它導出我們的共享密鑰，HMAC 簽署以下質詢。將結果作為質詢響應發回給我。如果你能做到，你必須知道你的私鑰對應於公開的公鑰。Eve 能否擷取 Bob 的公鑰，然後派生一些不同的私鑰來對應它，然後通過說“我是 Bob，這是我的公鑰”來冒充 Bob。即使夏娃沒有鮑勃’其他與 Bob 的公鑰兼容的私鑰？
給定一個 EC 公鑰，是否可以派生一個不同但合理且實用的私鑰來匹配公鑰？
不，一個公鑰將只對應一個私鑰（有一個小例外，我將在下面解釋）。對於橢圓曲線系統，私鑰是整數 $ d $ 介於 1 和 $ q $ （生成點的順序 $ G $ )，而公鑰是最常見的點 $ dG $ , 定義為 $ \underbrace{G + G + … + G}_\text{d copies} $ .
現在，生成器的順序具有這個屬性：小於順序的所有倍數都是不同的。也就是說，如果我們考慮點的序列 $ G, 2G, 3G, 4G, …, (q-1)G, qG $ , 該序列中不會有重複項。這意味著，由於公鑰出現在序列中的某個位置，所以這是唯一的出現；不會有另一個私鑰（小於 $ q $ ) 這也將產生該公鑰。
現在，我提到的小例外：一些橢圓曲線系統不使用全點 $ dG $ 作為公鑰，有時他們只使用 x 座標作為公鑰。
事實證明，在這種情況下，第二個私鑰值會產生相同的公鑰；價值 $ q-d $ . 沒有其他密鑰，第二個密鑰對攻擊者來說毫無用處；恢復該值並不比恢復原始值更容易 $ d $ .