CSIDH - l 理想生成器
我正在嘗試研究 CSIDH 算法。我有一些橢圓曲線的初學者背景，我一直在聽 Andrew Sutherland 的講座（https://math.mit.edu/classes/18.783/2019/lectures.html）來了解自同態環和類群作用以及我們如何可以將復雜曲線上的理論應用於有限域上的曲線。我的數論背景不是很好，所以這可能只是一個簡單的問題。
在 CSIDH（第 13 頁）中，我們提到了我們的主要理想 $ (l)\mathcal{O} $ （在哪裡 $ \mathcal{O} $ 是一個虛構的二次域中的一個階）分裂成兩個理想 $ \mathbb{l} $ 和 $ \mathbb{\overline{l}} $ 如在 $ (l)\mathcal{O}= \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}} $ 哪裡還有 $ \mathbb{l}, \mathbb{\overline{l}} $ 由產生 $ (l, \pi \pm 1) $ .
使用理想乘法我得到 $$ \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}} =(l, \pi + 1)(l, \pi -1) = (l^2, l(\pi -1), l(\pi +1), \pi^2-1) $$ 即一個元素 $ \alpha \in \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}} $ 應該有形式 $$ \alpha = al^2+bl(\pi-1)+cl(\pi+1)+d(\pi^2-1), {a,b,c,d} \subseteq \mathcal{O} $$ 我怎麼得到那個 $ \alpha = xl $ 對於一些 $ x \in \mathcal{O} $ ? 是否只是簡單的簡化和使用假設 $ \pi^2= 1 \mod l $ （即特徵方程）不知何故還是有更複雜的原因？
我的另一個問題是我們從哪裡得到的 $ \mathbb{l} $ , $ \mathbb{\overline{l}} $ 是由那些元素產生的？
先感謝您。還指出一些好的資源也會有所幫助。我一直在搜尋引用的論文，但很難找到正確的來源。
回答你的第一個問題：就這麼簡單。重申你寫的，檢查一下就足夠了 $ l $ 劃分所有四個生成器： $ l^2 $ , $ l(π-1) $ , $ l(π+1) $ 和 $ π^2-1 $ . 前三個很明顯，最後一個根據定義回想一下 $ π^2 = -p $ , 並且 CSIDH 明確地強制 $ l|(p+1) $ . 這證明了 $ (l) ⊃ (l,π-1)(l,π+1) $ . 要證明其他包含，請參見下文。
你的第二個問題本質上是要求證明 $ l,\bar{l} $ 是首要理想。一個簡單的方法是計算它們的規範。的規範 $ (l,π-1) $ 是其元素的規範的gcd。的規範 $ l $ 是 $ l^2 $ , 和範數 $ π-1 $ 是 $ (π-1)(-π-1) = p+1 $ （乘以共軛）。按施工 $ \gcd(l^2,p+1)=l $ ， 所以 $ (l,π-1) $ 有規範 $ l $ . 但 $ l $ 是素數，所以 $ (l,π-1) $ 一定是一個主要理想。
總而言之，你已經知道了 $ l\bar{l}⊂(l) $ , 但現在你也知道 LHS 和 RHS 上的規範是相同的，所以必然 $ l\bar{l}=(l) $ ，最多為單位。