橢圓曲線的自同構環和jjj不變的
我正在閱讀 Schoof 1995 年的論文，Counting points on elliptic curve overfinite fields，第 236 頁，命題 6.1(i)。我試圖理解證明的第 238 頁（第二段）：如果指揮是 $ 1 $ 然後 $ j $ 不變數是 $ 0 $ ， 或者 $ 1728 $ .
在 Silverman 的書中，橢圓曲線的算術，第 III.10 節第 103 頁，自同構群和 $ j $ -invariant 給出。橢圓曲線的自同態環與 $ j $ - 不變的？什麼時候 $ j=0,1728 $ ，自態環看起來如何？
如果自同態環等價於域的最大階，為什麼 $ j $ 不變數等於 $ 0 $ 或者 $ 1728 $ ?
我知道給定 $ E: y^2=x^3+Ax+B $ ， 如果 $ A=0 $ 然後 $ j=0 $ 而如果 $ B=0 $ 然後 $ j=1728 $ . 自同構環將同構於一個虛構的二次域，如果 $ E $ 是普通的並且對於一個四元數代數如果 $ E $ 是超奇異的。
請幫助我理解自同態環和 $ j $ 不變的。
如果自同態環等價於域的最大階，為什麼 $ j $ 不變數等於 $ 0 $ 或者 $ 1728 $ ?
所有這些關於自同態環的定理的主要來源是 Deuring 的Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper。不幸的是，我在網上找不到免費的副本，我也沒有副本。除了西爾弗曼的書之外，另一個來源是華盛頓的（不是免費的）橢圓曲線：數論和密碼學。
無論如何，在這些參考文獻中，您可以找到以下證明：超奇異橢圓曲線的自同態環是四分位數代數中的最大階數。Silverman 在您參考的書（問題 3.18）中將其作為一個加星標的家庭作業，但我認為通讀這一切對於這個網站來說有點離題了。
正如我在評論中提到的， $ j $ -invariant 可用於表徵曲線之間的同構，如果兩條曲線是同構的（例如，一條曲線及其二次扭曲），那麼它們具有相同的 $ j $ -不變數，但它們相關的自同態環是同構的。
但總的來說，表徵自同構群比自同構群更複雜。正如 Silverman 在您引用的部分中指出的那樣：
如果橢圓曲線是由 Weierstrass 方程給出的，那麼確定其自同態環的確切結構通常是一件不平凡的事情。對於自同構群來說，情況要簡單得多。
$ j $ -不變數與自同構相關，因為它們包含可逆的同構，但自同構不一定是可逆的。 $ j $ -不變數表徵曲線之間的同構。因此，我不希望兩者之間存在簡單的關係 $ j $ -不變數和自同態環。