後續：橢圓曲線上的點數
考慮這個問題。
說我想做類似的事情 $ E_2:y^2=x^3−x+1 $ 超過 $ \mathbb{F}_{3^m} $ . 我將如何進行？
Per Theorem 6.1 on an Introduction to Pairing-Based Cryptography的第 11 頁，其中 $ q=3 $ 我們首先考慮曲線 $ \mathbb F_3 $ . 通過耗盡可能的值 $ x $ 我們很快發現 $ #E_2(\mathbb F_3)=7 $ （具體點是 $ \mathcal O $ , $ (0,1) $ , $ (0,2) $ , $ (1,1) $ , $ (1,2) $ , $ (2,1) $ ， 和 $ (2,2) $ ）。這告訴我們價值 $ t=q+1-#E_2(\mathbb F_3)=3+1-7=-3 $ .
然後我們形成方程 $ x^2+3x+3 $ 併計算其複數根 $ \alpha=(-3-i\sqrt{3})/2 $ 和 $ \beta=(-3+i\sqrt{3})/2 $ 並推斷出 $$ #E_2(\mathbb F_{3^m})=3^m+1-\left(\frac{-3-i\sqrt3}2\right)^m-\left(\frac{-3+i\sqrt3}2\right)^m. $$
我們現在可以將根寫成模數參數的形式，這樣 $$ \alpha=\sqrt 3\exp(i7\pi/6),\quad \beta=\sqrt 3\exp(-i7\pi/6) $$ 以便 $$ \left(\frac{-3-i\sqrt3}2\right)^m+\left(\frac{-3+i\sqrt3}2\right)^m=3^{m/2}2\cos(7m\pi/6). $$
從而分為12個殘留的案例 $ m\pmod {12} $ 我們有 $$ #E_2(\mathbb F_{3^m})=\begin{cases}3^m+1-2\sqrt{3^m}&m\equiv 0\pmod {12}\ 3^m+1+\sqrt{3^{m+1}}&m\equiv \pm1\pmod{12}\ 3^m+1-\sqrt{3^m}&m\equiv\pm2\pmod{12}\ 3^m+1&m\equiv\pm3\pmod{12}\ 3^m+1+\sqrt{3^m}&m\equiv\pm4\pmod{12}\ 3^m+1-\sqrt{3^{m+1}}&m\equiv \pm5\pmod{12}\ 3^m+1+2\sqrt{3^m}&m\equiv 6\pmod{12}\end{cases} $$