如何從對偶同源中找到同源核
讓 $ E $ 是一個超奇異的橢圓曲線 $ \mathbb{F}_{p^2} $ ， 在哪裡 $ p = \ell_A^{e_A} \ell_B^{e_B} f \pm 1 $ 對於一些素數 $ \ell_A, \ell_B $ . 讓 $ R \in E[\ell_A^{e_A}] $ 成為一個程序問題 $ \ell_A^{e_A} $ 並假設 $ \phi:E \to E’ = E/\langle R \rangle $ 與核同源 $ \langle R \rangle $ . 讓 $ \widehat{\phi}:E’ \to E $ 成為雙同源。
我的問題是：假設我們知道核心 $ \widehat{\phi} $ ， 說 $ \langle S \rangle $ . 我們怎樣才能恢復 $ \langle R \rangle $ ?
關於這個問題的評論已經提供了一個很好的起點，但我會添加一個完整的答案。
我們有那個 $ R \in E $ 是一個程序問題 $ \ell_A^{e_A} $ ，生成核心 $ \phi $ . 因為 $ \ell_A^{e_A} $ 互質於 $ p $ ， 這 $ \ell_A^{e_A} $ -扭轉子群 $ E $ 具有以下結構：
$$ E[\ell_A^{e_A}] \cong \frac{\mathbb{Z}}{\ell_A^{e_A}\mathbb{Z}} \times \frac{\mathbb{Z}}{\ell_A^{e_A}\mathbb{Z}}. $$
因此，正如我們所知，兩個獨立的程序點 $ \ell_A^{e_A} $ 產生 $ E[\ell_A^{e_A}] $ . 所以有程序問題 $ \ell_A^{e_A} $ 在 $ E[\ell_A^{e_A}] $ 獨立於 $ R $ - 打電話給其中一個 $ Q $ . 也就是說，生成的核心 $ R $ 和 $ Q $ 只是微不足道的相交。
現在考慮一下當 $ Q $ 通過映射 $ \phi $ , 給 $ \phi(Q) \in E’ $ . 因為子群 $ \langle Q \rangle $ 只與 $ \langle R \rangle = \ker \phi $ ，並且因為同源是群同態， $ \phi(Q) $ 必須有秩序 $ \ell_A^{e_A} $ 上 $ E’ $ .
我們也有 $$ \widehat{\phi} \circ \phi = [\ell_A^{e_A}], $$ 這是乘以- $ \ell_A^{e_A} $ 內同態 $ E $ . 例如，參見 Silverman 的“橢圓曲線的算術”第 III.6 節，以證明這一事實和其他關於對偶同源的事實。根據定義，上述內同態的核 $ [\ell_A^{e_A}] $ 一定是 $ E[\ell_A^{e_A}] $ - 乘以的所有點 $ \ell_A^{e_A} $ 給出身份 $ \mathcal{O}_E $ . 這包括 $ Q $ . 所以 $ \phi(Q) $ 必須在核心中 $ \widehat{\phi} $ .
所以，因為 $ Q $ 是一個程序問題 $ \ell_A^{e_A} $ 在核心中 $ \widehat{\phi} $ （程度同源 $ \ell_A^{e_A} $ )，它必須生成所述核心。這正是您想要的：對偶同源核心的生成器。只需通過以下方式映射正確順序的獨立點 $ \phi $ 得到一個生成器 $ \ker \widehat{\phi} $ .
這同樣適用於另一個方向：給定 $ S $ 生成核心 $ \widehat{\phi} $ ，我們可以選擇一個程序點 $ \ell_A^{e_A} $ 獨立於 $ S $ 上 $ E’ $ 並通過映射 $ \widehat{\phi} $ 得到一個程序點 $ \ell_A^{e_A} $ 上 $ E $ ，在核心中 $ \phi $ . 這一點必須生成核心（它不一定等於 $ R $ ，但它會在生成的子組中 $ R $ ).