Elliptic-Curves
有沒有一種經濟的方法來檢查雅可比座標中的橢圓曲線點是否與壓縮點相同
在橢圓曲線上，例如 $ y^2 = x^3 + b $ ，我們定義 $ a $ 壓縮點 $ P = (x, y) $ 由它的座標 $ x $ 和的平價 $ y $ 協調。 $ y $ 可以使用計算 $ y = \pm\sqrt{x^3 + b} $ 並選擇正確的值 $ y $ 使用奇偶校驗資訊。
我們還在雅可比座標中定義了一個點，例如 $ P = (a, b, z) $ 和 $ x = a / z^2 $ 和 $ y = b / z^3 $ .
我想知道是否有一種已知的方法來檢查這兩組座標中的 2 個點是否是同一個便宜的點。計算如果 $ x $ 座標是否相同很容易通過檢查是否 $ x * z^2 = a $ .
檢查是否 $ y $ 座標是一樣的，我能想到的最好的就是計算 $ y = a * z^{-3} $ 並檢查它是否與壓縮點具有相同的奇偶性。但是，它需要對乘法逆運算進行昂貴的計算 $ z $ 要得到 $ z^{-1} $ . 這似乎有點矯枉過正，因為它計算的資訊比所需的資訊多。只需要一位。
我想知道是否有一種已知的方法來檢查你的 2 個點是否相同，並且不涉及昂貴的計算，例如找到乘法逆或二次殘差來解壓縮該點。
計算 $ z^{-1} $ 很便宜。我們可以通過歐幾里得算法和對數時間來做到這一點。但是你可以設置 $ z=1 $ 在投射協調。這使計算變得容易（ $ O(1) $ 自從 $ z^{-1}=1 $ )，通過這種表示，您可以明顯看到點的相等性。
請注意，而不是計算 $ y=bz^{-3} $ 你可以檢查 $ yz^3=b $ . 在這種狀態下，您不需要找到乘法逆。
在 MAGMA 等功能強大的程序中， $ z $ 等於 $ 1 $ ， 預設。