曲線有點 (0,0) 時橢圓曲線子群的階數
我是初學者。但是我知道子組的順序是組順序的除數。曲線 $ y^2=x^3+7 $ 超過 $ \mathbb{Z}_7 $ 有 8 個點（7 個點和無窮遠點）。點 (0,0) 的階數是 2 (?)，但所有其他子群的階數是 7，而不是 8。這似乎違反了拉格朗日定理。
我做了同樣的事情 $ y^2=x^3+7 $ 超過 $ \mathbb{Z}_{11} $ ，並且子組階數都是 12 的除數。這是我的預期。為什麼它不起作用 $ \mathbb{Z}_7 $ ?
我希望我已經解釋好了。我不喜歡高等數學的“雜草”。
謝謝你的幫助。
塞耶
問題是當我們減少曲線方程時 $ y^2=x^3+7 $ 模7，我們得到方程 $ y^2=x^3 $ 這不算作橢圓曲線。技術術語是有理曲線 $ y^2=x^3+7 $ 在素數 7 處有“糟糕的減少”。
形狀曲線的原因 $ y^2=x^3 $ 不是橢圓曲線是因為它們不“平滑”。這意味著它們有一個表現不佳的特殊奇點。粗略地說，這意味著該點的切線沒有明確定義（這尤其意味著曲線上的加倍規則在該點沒有意義）。在這種情況下，奇異點是 $ (0,0) $ 這是一個風口浪尖。（壞）對這種曲線的歸約稱為加法歸約，因為在非奇異點上存在群律，但它與有限域的加法群相同。在這種情況下，群與模 7 加法相同。群之間的同構很容易： $ t\neq 0 $ 整數 mod 7 切中要害 $ (t^{-2},t^{-3})\mod 7 $ 和 0 到無窮遠點。同樣，逆映射發送點 $ (x,y) $ 為整數 $ x/y\mod 7 $ .
對於關於奇異（非光滑）三次方的群定律的相對溫和的說明，我推薦 Ash 和 Gross 的“Elliptic Tales”的第 9 章，這對於沒有代數幾何背景的讀者來說非常容易。