Elliptic-Curves
小特徵場中的配對友好曲線
有幾種眾所周知的技術可以在素數場 GF(p) 上生成 1 到 36 度的配對友好曲線：Cocks-Pinch、MNT、Brezing-Weng等。
然而，在擴展域 GF(p^n) 中，一個僅限於超奇異曲線。在特徵 2 中，嵌入度 <= 4，在特徵 3 中，它們是 <= 6。通常，它們是 <= 2。
問題是：是否有任何已知的方法可以在小特徵場上生成普通的配對友好曲線，並具有合理的（比如 3-20）嵌入度？
據我所知，答案是否定的。
非正式地，構造配對友好曲線的唯一已知方法是 CM 方法，如果您對基場的基數施加很少的約束，則該方法允許您找到對其點數有強約束的橢圓曲線，或者相反的曲線一個非常受限制的基場，其點數幾乎沒有限制。
（如果您對更精確的陳述和明確的範例感興趣，我建議您查看 Lay 和 Zimmer，在大型有限域上構造具有給定群階的橢圓曲線，儘管它的標題涵蓋了這兩個方面。不幸的是，付費牆後面的文章。）
這很適合在大特徵中找到配對友好的曲線，因為您有足夠的空間讓基場的基數變化。但它在小的特徵場上根本不起作用，因為你對基場的基數（它必須是特徵的冪）和曲線上的點數（以實現一個小的嵌入度）。
事實上，我很想看到一個普通曲線的一個例子，在一個不太大的二進制域上嵌入度很小，比如 $ \mathbb{F}_{2^{31}} $ 說。
請注意，這個問題與在大素數域上建構普通的高屬配對友好曲線的問題完全無關，弗里曼的文章在上面提到了這一點。