配對 - 是否可以映射兩個rrr-torsion 指向一個r2r2r^2-扭力點？
讓 $ E(\mathbb F_{q^k}) $ 是有限域上的橢圓曲線 $ \mathbb F_{q^k} $ ， 在哪裡 $ \mathbb F_{q^k} $ 是的延伸 $ \mathbb F_q $ 和 $ k>1 $ . 讓 $ e: G_1 \times G_2 \rightarrow G_t $ 是一個雙線性對，並且 $ G_1 $ , $ G_2 $ 是一些子群 $ E(\mathbb F_{q^k}) $ 有秩序的 $ r $ ， 在哪裡 $ r| # E(\mathbb F_q) $ 和 $ r^2 | # E(\mathbb F_{q^k}) $ ， 和 $ G_t $ 是順序的子群 $ \mathbb F^*_{q^k} $ .
是否可以修改（Weil 或 Tate）配對，使得 $ G_t $ 是 $ r^2 $ ? 換句話說，是否可以映射（保持雙線性屬性）兩個 $ r $ -torsion 指向一個 $ r^2 $ ——統一的根源？
不，這是不可能的。
根據雙線性的定義，我們有 $ e( kG, H ) = k \cdot e( G, H ) $ . 如果順序 $ G $ 是 $ r $ （那是， $ rG = 0 $ ， 我們有 $ e( rG, H ) = e( 0, H ) = r \cdot e(G, H) $ . 我們知道 $ e(0, H) = 0 $ （因為雙線性函式將身份映射到身份），因此我們有 $ r \cdot e(G, H) = 0 $ ; 也就是說，順序 $ e(G, H) $ 必須是 $ r $ , 或某個除數 $ r $ .
我們可以簡單地獲得一個配對 $ G_1 \times G_2 \rightarrow G_t $ ，其中的順序 $ G_1 $ 和 $ G_t $ 是 $ r^2 $ , 和的順序 $ G_2 $ 是 $ r $ ，只需使用泰特配對。
泰特配對的定義是： $ t_r: E(\mathbb F_{q^k})[r^2] \times E(\mathbb F_{q^k})/r^2E(\mathbb F_{q^k}) \rightarrow \mathbb F^_{q^k}/(\mathbb F^_{q^k})^{r^2} $
通過取冪結果 $ (q^k-1)/{r^2} $ ， 要點 $ \mathbb F^_{q^k}/(\mathbb F^_{q^k})^{r^2} $ 將準確發送 $ r^2 $ ——統一的根源。
在哪裡 $ E( \mathbb F_{q^k})[r^2] $ 是一組 $ r^2 $ - 扭曲點，和 $ r^2E(\mathbb F_{q^k}) $ 是點的陪集 $ E(\mathbb F_{q^k}) $ 被定義為
$ r^2E(\mathbb F_{q^k})={ [r^2]P : P \in E(\mathbb F_{q^k})} $
只需添加 $ r^2 $ -tortion 指向這個陪集的元素，我們可以得到另一個 $ r^4-1 $ 它們的元素順序不相等的陪集，但這些陪集的元素在 $ E(\mathbb F_{q^k})/rE(\mathbb F_{q^k}) $ .
這個想法是我們可以選擇一個 $ r $ -扭力點 $ Q $ 從等價陪集 $ E(\mathbb F_{q^k})/rE(\mathbb F_{q^k}) $ . 然後簡單地模擬一個配對 $ e: G_1 \times G_2 \rightarrow G_t $ ，其中的順序 $ G_1 $ 和 $ G_t $ 等於 $ r^2 $ 和順序 $ G_2 $ 等於 $ r $ .