短 Weierstrass 方程對於非 2 或 3 個特徵是非奇異的

考慮一個欄位 $ K $ 有特色的 $ p \neq 2,3 $ . 考慮一條曲線 $ E $ 超過 $ K $ 由等式定義 $ y^2 = x^3 + ax + b $ .

我怎樣才能證明：

$ E $ 不是橢圓曲線（它不是奇異的） $ \iff $ $ 4a^3 + 27b^2 = 0 $

根據定義，仿射曲線上的一個點

$$ E\colon\quad \underbrace{y^2-x^3-ax-b}_{=:f}=0 $$ 當且僅當 Jacobi 矩陣是奇異的 $$ J_f =\Big(\frac{\partial}{\partial x}f,\frac{\partial}{\partial y}f\Big) =(-3x^2-a,2y) $$ 在那一點上沒有最高排名，即（此處）消失。因此，正是這些點 $ (x,0) $ ， 在哪裡 $ x $ 殲滅兩者 $ x^3+ax+b $ 及其衍生物 $ 3x^2+a $ , 是的奇異點 $ E $ . 因此，這樣一個點存在當且僅當 $ x^3+ax+b $ 有多重根，當且僅當它的判別式是這種情況 $$ \Delta=-4a^3-27b^2 $$ 為零。 準確地說，還有待證明無窮遠點 $ [0:1:0] $ 總是非奇異的：在仿射更新檔上 $ {y=1} $ ，（投影）曲線方程 $ y^2z-x^3-axz^2-bz^3 $ 去均質化為 $ z-x^3-axz^2-bz^3 $ . 其雅可比矩陣 $ (-3x^2-az^2,1-2axz-3bz^2) $ 變成 $ (0,1) $ 在無窮遠點 $ (0,0) $ ，因此對於任何 $ a $ 和 $ b $ .

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/40818