什麼是直線或曲線上的函式？
我正在閱讀使用橢圓曲線的配對，所有文本都在談論曲線上的函式。
我發現很難弄清楚“曲線上的功能”或“線上的功能”是什麼意思
直線或曲線的方程本身是函式的形式，但我無法弄清楚什麼是“曲線上的函式”或“直線上的函式”。
一些例子。
在西爾弗曼的數學密碼學中，
定理 5.36。令 E 為橢圓曲線。
(a) 令 f 和 f’ 是E上的有理函式。
另一篇文章說，它會先介紹一條直線上的功能，然後再介紹****一條曲線上的功能
在考慮橢圓曲線之前，我們首先通過查看直線上的函式範例來溫和地介紹除數理論。
直線或曲線上的函式到底是什麼？一條線或一條曲線上如何有多個函式？我所理解的只是一個與曲線或直線（曲線或直線方程）相關的函式。很難理解直線或曲線上的這些多重功能是什麼。
出於橢圓曲線和仿射座標配對的目的，函式是兩個變數中的有理函式（兩個多項式的比率） $ X $ 和 $ Y $ 與兼容領域的係數。曲線是特定函式為零的點的集合。線是曲線，其中基礎函式是總次數為 1 的多項式。曲線上的函式（通常曲線由另一個函式定義）是函式在曲線上的點上取值的集合，即函式的值在另一個函式為零的地方。
例如，如果我們處理有理數並考慮函式 $ C(X,Y)=Y^2-X^3+X-1 $ . 這定義了橢圓曲線 $ E:C(X,Y)=0 $ 我們可以寫成 $ E:Y^2=X^3-X+1 $ . 還要考慮函式 $ L(X,Y)=2X-Y-1 $ , 這定義了線 $ \ell:L(X,Y)=0 $ 我們通常會寫 $ \ell:Y=2X-1 $ . 雖然函式是為所有有理值定義的 $ X $ 和 $ Y $ ，我們可以專門研究位於曲線上的值。功能 $ C $ 在曲線上 $ E $ 處處為零，但函式 $ L $ 取更有趣的值。考慮 $ L $ 在該點進行評估 $ (5,-11) $ 位於 $ E $ . 這是 20。同樣我們可以討論函式 $ C $ 在“曲線”上 $ \ell $ 例如，如果我們採取這一點 $ (7,13) $ 位於 $ \ell $ 我們看 $ C(7,13)=-168 $ .
顯然，我們可以談論定義在 $ E $ 而不僅僅是 $ L $ .
函式之間存在有趣的關係 $ f $ 在由函式定義的曲線上 $ g $ 和功能 $ g $ 在由函式定義的曲線上 $ f $ . 這些始於觀察到零點是共享的。特別是零 $ L $ 上 $ E $ 是 $ (0,-1) $ , $ (1,1) $ ， 和 $ (3,5) $ 這也是零 $ C $ 上 $ \ell $ .