Elliptic-Curves
曲線25519中生成點G=9的順序是什麼？
在 Curve25519 中，我們通常有這個生成點或基點：
Gx = 9 Gy = 14781619447589544791020593568409986887264606134616475288964881837755586237401 or: Gy' = p - Gy = 43114425171068552920764898935933967039370386198203806730763910166200978582548其中
p = 2^255-19，我們評估曲線的素數場 Fp 的維度。這個生成點的順序是什麼？
即最小的 n 是多少所以 nG = 0。
在真正考慮之前，我只是假設那是
p因為p是素數。但顯然這是錯誤的，因為我們在這里處理的是橢圓曲線點加法，而不僅僅是模數中的標量乘法。所以我想知道 G 的順序是什麼，也許更困難：我自己怎麼能找到這個？（一旦我有了值，我就可以輕鬆地驗證它，那就不那麼複雜了）
根據這個來源，這條曲線的點是一組基數。 $ 8\cdot p’ $ 和 $ p’:=2^{252}+27742317777372353535851937790883648493 $ .
這個數字可以通過使用Schoof 算法或更有效的Schoof-Elkies-Atkin 算法來計算。
然後，由拉格朗日定理，並且因為 $ p’ $ 是素數（可以用任何有效的素性測試檢查），它意味著所有點 $ P $ 只能有訂單 $ o_P= 2^{i_P}\cdot p^{\prime j_P} $ ， 和 $ 0\leq i_P\leq 3 $ ， 和 $ 0\leq j_P\leq1 $ .
我們可以計算 $ p’\cdot G $ 使用快速求冪（平方和乘法算法在橢圓曲線上下文中也稱為雙加），並註意它等於 $ \mathcal{O} $ 曲線的中性元素。
我們推斷 $ o_G $ 的順序 $ G $ 劃分 $ p’ $ . 然後 $ i_G= 0 $ .
因為 $ G\neq \mathcal{O} $ , $ o_G\neq 1 $ ， 然後 $ j_G=1 $ .
我們得出結論 $ G $ 是有序的 $ o_G = p’ $ .