為什麼 ECDSA 中使用素數？
所以我需要為學校寫一篇關於 ECDSA 及其安全性的文章。現在我以為我有一個簡單的問題，但是，我似乎無法在任何地方找到答案：
為什麼公式中的p必須是素數？
現在我明白了你如何只能有素數的模逆，我想這可能與它有關，但我不明白怎麼做。
這是我從 ECDSA 算法中找到公式的網站：https ://andrea.corbellini.name/2015/05/23/elliptic-curve-cryptography-finite-fields-and-discrete-logarithms/
為什麼 $ p $ 需要是素數嗎？
這是算術模數所必需的 $ p $ 成為一個領域。對於非素數模，我們只得到一個ring。
這很重要，因為我們想要計算模乘逆，並且需要一個欄位來使其始終如一地工作。
更具體地說：如果 $ q $ 是這樣的 $ 0<q<p $ 和 $ \gcd(p,q)\ne1 $ （這是可能的，當 $ p $ 不是素數），那麼不存在 $ r $ 和 $ q,r\equiv1\pmod p $ ， 那是 $ q $ 沒有乘法逆元。這將使帶有術語的公式無效 $ (x_P-x_Q)^{-1}\bmod p $ 什麼時候 $ \gcd(p,x_P-x_Q)\ne1 $ ，在執行點加法時使用。和 $ p $ 素數，這只能發生在 $ x_P\equiv x_Q\pmod p $ ，在點加法中可以作為特例處理。
你只能有素數的模逆
呃，沒有。反例比比皆是。說 $ 1 $ ，它不是素數，是它自己的模逆；和 $ 4 $ ，它不是素數，並且具有模逆 $ 7 $ 模組 $ 9 $ ， 自從 $ 4\times7=3\times9+1 $ .
正確的表述：可靠的模數反演需要素數模數。
更準確地說：所有整數來自 $ 1 $ 當且僅當模數為素數時，比模數小一具有乘法模逆。
注意：出於不同（安全）原因，編號 $ n $ 曲線上的點數（包括中性點，也稱為無窮大點）也需要是素數（就像在 ECDSA 中一樣），或者至少要有一個大的素數因子。
這是一個簡化的解釋：
正如 fgrieu 所指出的，計算乘法模逆是橢圓密碼學計算所必需的。解釋 Schneier 的“應用密碼學”第 246 頁：
求乘法逆需要找到一個滿足 1= a*x mod n 的 x。因此，例如，5 mod 14 的倒數是 3，因為當 a = 5 和 n = 14 時，我們可以看到 5 × 3 = 15，當我們模減少 15 mod 14 時，餘數/殘差為 1，因為 15 比 14 大 1。
但是由於 14 不是素數，所以如果 a = 2 且 n = 14，則不存在乘法逆元，因為沒有整數 x 可以為我們提供 1 = 2*x mod 14 的解。
相反，如果n 是素數，那麼對於1 到n 之間的每個整數（即1 到n-1），恰好存在一個模乘逆。
如果 n 不是素數，那麼您將遇到像上面範例中 n = 14 的情況，其中將無法解決模乘法逆問題。繪製橢圓曲線的域不是我們習慣的正常整數集合，而是由素數約束的一組數字。但是，為了使欄位有效，在其中執行的操作需要以對應於正常數字的方式執行。因此，對於正常數字，每個數字都有一個乘法逆，但是對於模算術，只有當它是素數時才能保證它具有乘法逆（如上所示）。因此，由於橢圓曲線是使用模算術繪製的（例如比特幣'
因此，如果 p 不是素數，而是接近素數，橢圓曲線密碼學實際上可能對大多數密鑰“有效”，但對其他密鑰可能會失敗。由於我們希望橢圓曲線密碼學在每種情況下都能始終如一地工作，因此選擇了一個素數（這將保證在每種情況下都能解決模乘逆問題）。