一種使用素數隱藏數據的新方法？
是否提出或研究了以下隱藏數據的方法？這種方法的效率或安全性如何？哪些應用程序可以使用這種方法？
數據將隱藏在一個數字中，該數字是兩個素數的乘積。一個素數包含隱藏數據，一個較大的素數表示數據的長度，使用連接構造如下。
$ p = p_0 \ || \ data \ || \ p_{end}\ \ $ 和 $ \ \ q = q_0 \ || \ marker \ || \ q_{end} $
在哪裡 $ p_0 $ 和 $ q_0 $ 是隨機的 $ single $ 非零數字 $ p_0 < q_0 $ , $ data $ 是一個數字 $ k $ （十進制）數字， $ marker $ 是一個隨機數 $ k-1 $ 非零數字後跟 $ 0 $ ， 和 $ p_{end} $ 和 $ q_{end} $ 是隨機數 $ n-k-1 $ 位數。
編碼數據為 $ N = P \times Q $ 在哪裡 $ P $ 和 $ Q $ 是之後的下一個素數 $ p $ 和 $ q $ . $ n $ 被選擇得足夠大，使得a的因式分解 $ 2n $ -數字數字是不可行的，因此，連同選擇 $ p_{end} $ 和 $ q_{end} $ , 的建設 $ P $ 和 $ Q $ 不會導致 $ data $ 或者 $ marker $ 改變。
幾點評論：（1）雖然有一些限制 $ P $ 和 $ Q $ 是已知的，使用“部分資訊/已知位的分解”是不夠的。(2) 知道 $ P $ 和 $ Q $ ，以任何順序，都允許唯一地找到隱藏的數據。(3)該方法易於適應二進制。
例子： $ data $ 是 271828 與 $ k $ = 6. 為簡單起見 $ n $ = 12:
$ p = \mathtt {1 \underline {271828} 67213} $ , $ P = \mathtt {1 \underline {271828} 67221} \ \ $ 和 $ \ \ q=\mathtt {6 \underline{97811} \underline {\underline {0}}97478} $ , $ Q = \mathtt {6 \underline{97811} \underline {\underline {0}}97499} $
$ N = P \times Q = \mathtt {88749616158555602180279} $ .
編輯：數據可以是任何整數（零或更大）。為了強調它不必是素數，我將範例數據從 314159（素數）更改為 271828（複合數據）。
編輯（3 月 30 日）：在描述中添加了“單一” $ p_0 $ 和 $ q_0 $ 強調每個 $ p_0 $ 和 $ q_0 $ 是單個非零數字。注意數據的大小（ $ k $ ) 事先不知道，但由 $ marker $ . 此外，Coppersmith 最廣為人知的結果是，如果已知因子的一半位，則分解很容易。
我將把它作為一個潛在的承諾方案來研究（因為我想不出你會如何使用它）。
如您所知，鮑勃，承諾方案是愛麗絲擁有秘密的方案。她發布了對秘密的承諾（“承諾秘密”），然後，她“打開”承諾，揭示了秘密。
承諾方案中有兩個感興趣的安全屬性：
- 隱藏；看到承諾的鮑勃無法說出秘密是什麼（即使他有猜測）
- 捆綁; 當 Alice 打開承諾時，她必須將其打開到她在生成承諾時所考慮的值（也就是說，她不能在打開時將其打開到兩個不同的值中的任何一個）。
實際上，承諾方案既可以是完全隱藏的（也就是說，Bob 不可能獲得任何資訊，即使他擁有無限的計算能力）也可以是完全綁定的（也就是說，Alice 不可能打開以兩種不同的方式承諾）；一個計劃不可能兩者兼而有之。
現在，有兩種標準的承諾方案：
- 基於雜湊的承諾，Alice 獲取秘密 $ S $ 和一個隨機值 $ R $ 並公佈承諾 $ \text{Hash}( S || R ) $ , 對於一個抗碰撞的散列函式 $ \text{Hash} $ ; 打開它，她發布 $ S $ 和 $ R $ . 事實證明這是計算綁定（基於雜湊的抗碰撞性，並假設 S 或 R 的長度是眾所周知的）和統計隱藏（假設 $ R $ 足夠長，並且是對散列函式的非標準但直覺的假設）。
- Pedersen 承諾，我們有兩個不同的發電機 $ g $ 和 $ h $ （具有未知關係）離散對數問題較難的某個組；承諾一個價值 $ S $ ，她選擇一個隨機值 $ R $ 並發表 $ g^Sh^R $ ; 打開它，她發布 $ S $ 和 $ R $ . 事實證明，這正在完善隱藏和計算綁定（可簡化為 DLog 問題）。
基於雜湊的承諾具有高效的實際優勢。Pedersen 承諾的優點是它們具有更好的可證明性質，並且它們也是零知識證明友好的；例如，如果 Alice 生成兩個承諾，她可以生成一個簡短的零知識證明，證明這兩個承諾是兩個相同的值（當然，假設它們是）。
現在，進入您的計劃：
- 至於綁定屬性，您完全綁定；愛麗絲只有一種方法可以打開秘密（假設鮑勃檢查所揭示的素數）。
- 至於隱藏屬性，乍一看似乎可以歸結為因式分解問題。然而，事情並沒有那麼簡單。攻擊者先驗地知道這些因素（例如，如果他猜到了這個秘密，他也猜到了 $ P $ 出現（沒有那麼多可能性），那麼他有兩個數字 $ P $ 並且知道非零數字在哪裡 $ Q $ 出現（以及零位））。雖然尚不清楚如何使用它來簡化分解，但這將是一個非標准假設。
評估這個方案，它並不可怕（只要秘密很短，攻擊者可用的額外資訊就不太可能被利用）；另一方面，它也是低效的（生成素數是昂貴的；驗證揭示的 $ P $ 和 $ Q $ 價值（確保它們是主要的），雖然沒有那麼貴，但仍然不是太便宜）。而且，您將如何創建關於承諾值聲明的有效零知識證明也不是很明顯。
我將指出一些我看到的問題，這些可能是錯誤的，但我仍然覺得這很有趣
- 將數據設置為等於（或表示）質數並不總是那麼容易。給定一條加密為素數 1 的特定消息，是什麼阻止了另一條相同長度的消息加密為相同的素數。（可能是小消息空間？）
- 解密在這裡如何工作……
- 我在這裡沒有看到安全證明。對 RSA 的攻擊表明，在給定一定數量的位的情況下，您可以恢復素數。您可以對味精的長度進行蠻力攻擊，然後可能使用某種部分密鑰暴露攻擊
我是密碼學的新手，所以很可能我搞砸了這些假設之一，請隨時給我打電話，仍然祝賀這些有趣的想法！