雙系統加密：雙系統加密新技術和短密文完全安全的HIBE

在 Waters 和 Lewko 的論文New Techniques for Dual System Encryption and Fully Secure HIBE with Short Ciphertexts中，元素如何 $ R_3 $ 和 $ R’_3 $ 在解密算法中被淘汰？

它在復合順序組上使用配對工件。

具體來說，如果順序 $ G $ 是 $ p_1 $ 和順序 $ H $ 是 $ p_3 $ 和 $ p_1, p_3 $ 是相對質數，那麼 $ e(G, H) = 1 $ .

這可以通過考慮順序很容易看出 $ e(G, H) $ ; 我們知道 $ e(G, H)^{p_1} = e(G^{p_1}, H) = e(1, H) = 1 $ ，因此的順序 $ e(G, H) $ 必須是的除數 $ p_1 $ . 類似的邏輯告訴我們，訂單也必須是的除數 $ p_3 $ . 因為 $ p_1, p_3 $ 互質，它們唯一的公約數是1；因此的順序 $ e(G, H) $ 必須是 1。

論文的第 2.2 節給出了相同結果的不同推導。

一旦我們有了它，我們就可以看到 $ e(K_1, C_1) = e(g^r R_3, (u^{id}h)^s) = e(g_r, (u^{id}h)^s) \cdot e(R_3, (u^{id}h)^s) $ . 由於順序 $ R_3 $ （哪個 $ p_3 $ ) 和順序 $ (u^{id}h)^s $ （這是 $ p_1 $ ) 是互質的，後半部分是常數因子 1，所以這減少到 $ e(g_r, (u^{id}h)^s) $ （因此 $ R_3 $ 消失）。類似的邏輯擺脫 $ R’_3 $ 還有……

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/77170