如何計算 Rijndael SBox？
我想使用計算而不是表格來實現 Rijndael操作，因為我喜歡在不同的單詞大小
subBytes()上玩這個，作為一個學術練習，看看表格會是什麼樣子。第一部分是多項式二進制有限域中的乘法逆，不是嗎？
這 $ g: a \rightarrow b = a^{-1} \in \frac{\mathbb{F}_{2^8}[z]}{m(z)} $ ， 對？
我可以使用Sage來計算它，但我更喜歡自己實現它。我已經嘗試過 Rijndael 的設計書的第 4.3.2 節，並且我已經看過像 cohen 的書這樣的其他人（它關於曲線，但解釋了二進制場數學），但我沒有找到讓我信服的東西，因為玩在第一種情況下，不同的字長會在一組醜陋的if語句中衰減，或者我的背景太豐富而無法真正以正確的方式得到其他人。
- 攻擊此實現的最佳方法是什麼？
我對此還有另一個問題，
subBytes()它與仿射變換中的參數有關。在這個子操作中$ f: a \rightarrow b = r\times a+s $
在哪裡 $ r $ 是多項式的旋轉矩陣表示 $ z^7+z^6+z^5+z^4+1 $ （我沒有得到這個矩陣背後的東西，或者這個 MDS（最大可分離距離）為什麼/如何出現），並且 $ s $ 看起來是多項式的向量表示 $ z^6+z^5+z+1 $ . 我也很困惑，因為這本書和 1999 年的修訂版 2 對我所說的使用了不同的值 $ r $ 和 $ s $ .
- 那些是怎樣的 $ r $ 和 $ s $ 選擇？
要撤消此操作 $ f $ , $ f^{-1} $ 正在使用 $ r^{-1} $ 和 $ s^{-1} $ 如果我沒記錯的話，那不是使用第一個操作計算的倒數。
- 關於它們是如何計算的任何線索？
你想做的事情是可以完成的，但如果你期望它能夠正常工作，那你就錯了。
這裡進行逆計算是容易的部分，困難的部分是仿射變換多項式和向量的選擇，因為錯誤的選擇會導致不安全的 s-box。
乘法逆
計算倒數最簡單的方法是建表。您需要首先為給定的欄位大小和約簡多項式建構反對數和對數表。
反對數表是這樣建構的：
$ Antilog(0) = 1 $
$ Log(0) = 0 $
$ Antilog(i) = g \times Antilog(i-1) $
$ Log(Antilog(i)) = i $
為了 $ i = 1 $ 到 $ 2^{n-1} $ ， 在哪裡 $ g $ 是給定表的生成器 $ m $ （歸約多項式），加法和乘法在 $ GF(2^n) $
然後使用這些表中的查找來完成乘法逆運算：
$ b^{-1}(x)=Antilog(2^{n-1} - Log(b(x))) $
在哪裡 $ b(x) $ 是您想要反轉的多項式的字節表示，並且減法不在該欄位中。 $ 0^{-1} $ 映射到 $ 0 $ .
對於 Rijndael， $ n $ 是 8， $ m $ 是0x11B，最小的 $ g $ 是 3。
一旦生成了對數表和反對數表，您可以為逆向建構單獨的表，或者執行雙重查找來獲取它。
仿射變換
對於仿射變換矩陣乘法，請參閱我的答案here以獲取實現範例。新的仿射變換多項式的位索引需要放入旋轉矩陣的正確位置。
0x1F 的位索引與多項式表示的位索引不匹配，這實際上是從上到下最右邊的行。0x1F 表示使軟體算法更易於編寫和調試，因為列索引現在匹配輸入的連續除以 2 並採用 LSB。這可以使用乘法以正確的順序完成，但需要採取步驟來防止許多程式語言中特定數據類型（字節）的溢出。通過以下方式創建用於轉換的表 $ r $ 將是最快的測試。
0x1F 表示也用於描述 Rijndael s-box 或呈現替代方案的許多論文中，因此我傾向於預設使用它，同時記住多項式是不同的。
這 $ r $ 和 $ s $ Rijndael 中使用的值似乎不是雪崩特性的最佳值，而且似乎是在沒有詳細分析的情況下選擇的。 $ r^{-1} $ 是的倒數 $ r $ ，這裡有詳細資訊。 $ s^{-1} = r^{-1} \times s $ .
測試
在更改 s-box 的寬度時，此時需要牢記幾件重要的事情。仿射多項式的選擇決定了s盒的雪崩性質，向量決定了是否有不動點。雪崩特性也由初始選擇決定 $ m $ . 有關更改這些的效果，請參閱本文：
在生成候選 s-box 後，需要對其進行測試以確保它符合所有相關的加密屬性。首先測試雪崩（使用第一個函式向量），一旦找到最佳仿射變換，就遍歷所有向量。然後應該對剩餘的 s-box 執行額外的測試。請注意，在上述論文（表 4）中生成的第一個 s-box 中缺少向量測試，其固定點位於 0x10。Rijndael 設計標準要求不存在固定點；儘管事實上沒有已知的利用固定點的攻擊，但還是施加了這種限制。
每增加 1 位 $ n $ ，工作量大幅增加。每個 s-box 的生成時間要長 2 到 3 倍，要測試的仿射/向量組合是 4 倍，每個組合的雪崩測試工作量高達 8 倍。此外，如果您測試所有選項 $ m $ 為了獲得最佳雪崩效果，平均而言，這是另一個翻倍。儲存表格所需的記憶體也增加了一倍以上。