我們如何使用 GF 欄位添加實際值？
在GF（ $ 2^4 $ ) 使用原始多項式 g(x) = $ x^4 + x^3 +1 $ , 2+3 = 1 因為 010 + 011 = 001,
2 + 2 = 0
是否有任何編碼可以在 GF 中獲得 2 + 3 = 5 和 2 + 2 = 4。
正如 CodesInChaos 在評論中所說，所要求的不能用相同的方式完成 $ + $ 二進制域的操作 $ \operatorname{GF}(2^4) $ 和想要的 $ + $ 普通整數的運算。證明：在 $ \operatorname{GF}(2^4) $ , $ a+a=b+b $ 對於任何 $ a $ 和 $ b $ ，這不適用於任何有用的整數子集。
但是，我們可以映射元素 $ \operatorname{GF}(2^4) $ 減去零 (
0000) 到 $ {0,1,2\dots,13,14}=\mathbb Z_{15} $ , 乘法 $ \operatorname{GF}(2^4) $ 映射到加法模 $ 15 $ 在 $ \mathbb Z_{15} $ . 我們採用任何發電機 $ g $ 的 $ \operatorname{GF}(2^4) $ , 例如0010; 映射0001到 $ 0 $ , $ g= $0010至 $ 1 $ , $ g^2= $0100至 $ 2 $ , $ g^3 $ =1000到 $ 3 $ , $ g^4 $ =1001到 $ 4 $ , 更一般地說 $ g^n $ 至 $ n $ .現在，在操作 $ \mathbb Z_{15} $ 通過回到定義 $ \operatorname{GF}(2^4) $ 根據兩個參數的上述映射的逆，將結果相乘 $ \operatorname{GF}(2^4) $ ，並到達 $ \mathbb Z_{15} $ 再次通過應用所述映射，只是加法模 $ 15 $ ，因此可以按要求使用小的非負整數值。
類比：我們可以在集合中進行加法 $ \mathbb R $ （實數）作為 $ x+y=\log(e^x\times e^y) $ .