在嘗試加密英文密文時，RSA 算法中的 p、q、d、e 等值是否有一些限制？
背景：
根據這張幻燈片，我已經看到純文字的值應該小於 p*q 。 第二天晚上我正在閱讀 Tanenbaum 的電腦網路書，我看到了這個我不確定我是否理解的東西！
我覺得他在說純文字應該小於$$ p*q $$.
我沒有得到$$ 2^k < n $$事物。
讓$$ p=11, q=3 $$
所以，如果我選擇 A,B,C…作為明文。那麼 A=8 位字元。
所以，讓我測試一下：
$$ 2^k < n $$
$$ 2^k=2^8=256 < n=p*q=33 $$
所以，$$ 2^k < n $$不是嗎？那麼，Tanenbaum 在這裡說什麼？我覺得這是非常關鍵的一點。
我將介紹一些 RSA 加密的案例：
$$ CT=(PT)^e , mod, n $$
$$ PT=(CT)^d , mod, n $$
$$ CT= Cipher Text $$
$$ PT=Plain Text $$
$$ e*d/m $$應該給餘數 $ 1 $ ， 在哪裡;
$$ m=(p-1)*(q-1); $$在哪裡 $ p, q , are , 2 $ 質數。
A) 發件人需要 $ p=3, q=11 $ .
的價值 $ e=3 $ , $ d=7 $ 滿意 $ remainder=1 $ 健康）狀況。
因此，如果發件人想要發送“SELL”：
$$ S=19, CT=28 $$
$$ E=5. CT=26 $$
$$ L=12, CT=12 $$
$$ L=12, CT=12 $$
二） $ p=2,, q=11 (since , 22<26 $ ，也許這對 Tanenbaum 不起作用？
$ e=3,d=7 $
我這裡只寫CT（即S=17表示17是S經過RSA加密後的密文）：
S=17
E=15
L=12
L=12（這裡一樣？為什麼？因為d，e是一樣的？）
C） $ p=13, , q=11 $
$ d=13,, e=37 $
所以，
$$ S=95 $$
$$ E=93 $$
$$ L=12 $$
$$ L=12 $$（再次得到相同的值，這是什麼？即使有不同的值 $ p $ , $ q $ , $ d $ , $ e $ ！）
D) $ p=17 $ , $ q=11 $
$ d=23 $ , $ e=7 $
它的例子在這裡。
問題：
a) 如果在 p 或 q 中，任何人都應該更大，是否有任何限制？
b) 是否有任何限制，例如 d 或 e 哪個應該更大？
我知道 e 小於 m 並且 e 大於 1
並且e應該與m互質，即GCD(e,m)=1。
GCD(13,120)=1
對於 d，
de mod m=1
c) 是否有任何情況，在解密過程中，即使一切正常，由於某些原因，我們也無法獲得明文？在過去的幾次中，我有過這種感覺，這讓我很困惑。我不記得這些情況了，但我曾經覺得 p,q 的某些值；RSA 密碼系統不會解密回來。我的朋友不同意我的看法，我沒有通過考試，所以我不確定發生了什麼。
我知道逐字元加密使得這與“單字母密碼”相同，而 RSA 失去了它的本質，這只是一個虛擬的例子。在現實世界中，也許您會將“SELL”轉換為基數 x 併計算它的值並僅對其進行加密。
純文字應小於 $ n=p*q $
是的，這是教科書 RSA 的要求（問題中的那種 RSA）。有效的教科書 RSA 明文和密文僅限於區間內的整數 $ [0,n) $ . 那是因為對於任何整數 $ x $ ， 數量 $ x\bmod n $ （前面沒有括號 $ \bmod $ ) 根據定義位於此區間內。
我沒有得到 $ 2^k<n $
這種關係（或稍小的 $ 2^k\le n $ ) 確保任何 $ k $ -bit 位串，當根據無符號二進制約定轉換為整數時，位於 $ [0,n) $ 有效 RSA 明文的間隔。確實，它不滿足 $ n=3\cdot 11 $ 和 $ k>5 $ . 如果我們使用字元的 ASCII 編碼，我們需要 $ n>2^7 $ .
$ e*d/m $ 應該在哪裡給出餘數 1 $ m=(p−1)∗(q−1) $
該條件等效地寫成 $ e,d\equiv1\pmod m $ . 在這方面， $ \equiv $ 符號可以讀為等價於或全等於; 和 $ \bmod $ 緊接在前面的括號是模讀取的（可能在之前有一個小停頓以標記它是一個限定符 $ \equiv $ 而不是操作員）。問題說明了什麼 $ m $ 更經常被注意到 $ \varphi $ （我會這樣做）， $ \Phi $ 或者 $ \phi $ （參見歐拉的 totient）。旁
這個條件 $ e,d\equiv1\pmod\varphi $ 還不夠：
- 要求是 $ p $ 和 $ q $ 是不同的素數（否則定義 $ \varphi $ 必須更改，並且必須設置明文限制）。
- 這是必需的 $ d>0 $ （否則 $ \operatorname{PT}=\operatorname{CT}^{,d}\bmod n $ 需要模冪的非標准定義）。
這個條件 $ e,d\equiv1\pmod\varphi $ 是不必要的：它可以而且經常被不太嚴格的條件所取代 $ e,d\equiv1\pmod{p-1} $ 和 $ e,d\equiv1\pmod{q-1} $ ; 或等效地 $ e,d\equiv1\pmod\lambda $ 和 $ \lambda=\operatorname{lcm}(p-1,q-1) $ （參見Carmichael 函式）。
自從 $ 22<26 $ ， 也許 $ p=2 $ , $ q=11 $ 不工作
實際上，這種參數選擇將不允許解密 $ 22 $ 和更多（字母 V 和後面的字母表中使用的編碼）。
再次明文 $ 12 $ 導緻密文 $ 12 $
具有人為小參數的教科書 RSA 已經成熟，具有這種所謂的不動點：總是至少有三個（包括 $ 0 $ , $ 1 $ , $ n-1 $ )，奇數至少為 9 $ n $ （按照慣例），而且通常更多。因此，具有人為小參數的教科書 RSA，即使通常將公鑰保密，也遠不如替換密碼安全。然而，當固定點變得非常罕見時 $ p $ 和 $ q $ 是大的隨機素數（有數百個十進制數字，而不是問題中的 1 或 2，這是安全所必需的）。在安全的 RSA 中，明文是隨機的，因此以消失的機率命中固定點。
是否有任何限制如果 $ p $ 或者 $ q $ 任何人都應該更大？
不： $ p $ 和 $ q $ 扮演對稱角色。它們可以是任何不同的素數。通常，它們是奇怪的，即使在教科書 RSA 中人為地低參數也是如此。如果我們想要安全的 RSA，它們需要很大（數百個十進制數字）和秘密（因此隨機選擇）。
是否有任何限制，例如哪個 $ d $ 或者 $ e $ 應該更大？
沒有教科書 RSA。對於有效 $ (p,q) $ 如上所述，任何 $ (e,d) $ 和 $ e,d\equiv1\pmod{(p-1)(q-1)} $ 和 $ e,d\in\mathbb N^* $ 在允許加密/解密的意義上有效。習慣上加了 $ e>1 $ （自從 $ e=1 $ 是其中的值 $ e $ 使所有點固定）。它通常選擇一個相當小的 $ e $ （幾乎總是 $ e<n $ 並且通常 $ e<n/4 $ 和 $ e<2^{256} $ , 有時與 $ 2^e>n $ 或者 $ e>2^{16} $ 儘管）。通常有一個上限 $ d $ , 通常是其中之一 $ d<(p-1)(q-1) $ 或者稍微寬鬆一點 $ d<n $ （計算時遇到前者 $ d $ 從 $ e $ 作為 $ d=e^{-1}\bmod\varphi $ ，並暗示後者）。什麼時候 $ e $ 很小而且 $ d $ 計算自 $ e $ （兩者都是習慣性的），通常 $ e<d $ ，這對於實際應用來說變得非常有可能 $ n $ .
在現實世界中，也許您會將“SELL”轉換為基數 x 併計算它的值並僅對其進行加密。
這允許加密/解密工作並減輕明文大小的增加，但這不是實踐的。在現實世界中，很少有人直接使用 RSA 加密文本（更不用說使用教科書 RSA）。相反，使用混合密碼系統。當使用 RSA 加密文本時，這是按照RSAES-PKCS1-v1_5或最好的 RSAES-OAEP進行的。
¹ 教科書 RSA 直接將明文加密為 $ \operatorname{CT}=\operatorname{PT}^{,e}\bmod n $ . 這允許驗證明文的猜測，從而使 RSA 對公共類卷上的名稱進行加密毫無意義，即使 $ p $ 和 $ q $ 是正確的。在討論的特定教科書中，實踐中與 RSA 存在進一步的偏差：
一個字母一個字母地加密。
人為的小參數（ $ n $ 在安全 RSA 中必須是幾百個十進制數字）。這是為了在沒有帶有適當軟體的電腦的情況下簡化計算，並允許列印數字。
在加密（分別是解密）中， $ \operatorname{PT}^{,e} $ （分別。 $ \operatorname{CT}^{,d} $ ) 在最終的模組化減少之前進行全面評估。即使對於大多數三位數，這也會使列印數字變得不切實際 $ n $ . 這不是模冪運算的完成方式，也不應該教授。
私人指數 $ d $ 實際使用。存在這樣做的實現，但出於性能原因大多數不存在，並且以更快的方式計算相同的數量。以後以這種方式教授 RSA 有很多好處：
- 教授實際練習和最有效地工作的內容，甚至使手動計算在稍大的參數下變得可行。
- 不考慮歐拉函式或卡邁克爾函式的概念。它只使用了中國剩餘定理和費馬小定理，它們有很多應用。
- 提供 RSA 解密恢復與解密方式一起工作的明文的證據。
- 使證明有效：許多其他證明假設 $ \gcd(\operatorname{PT},n)=1 $ ，對於人為的小參數，這遠非確定。
- 降低這種情況的可能性 $ p\ne q $ 經常被遺忘，因為它是中國剩餘定理所要求的假設。這個條件對於正確解密是必要的，當 $ \gcd(\operatorname{PT},n)\ne1 $ （如問題中出現的那樣），並且獨立於 $ \varphi(n)=(p-1)(q-1) $ 舉行。