這是一個定義明確的共享方案嗎？
一個提議的秘密共享方案：假設 $ p:S\times Y\to X $ ， 和 $ |Y|\geq|S| $ 是一個密碼，其中， $ y\in Y $ 是關鍵和 $ x\in X $ 編碼， $ p $ 是雙射的，即 $ (x,y) $ 僅與一個相關聯 $ s $ . 因此解密的消息 $ s=x\oplus y $ 並且很容易證明這一點。
$ \textbf{Proof:} $ 假設我們有一個通信機制 $ \mathcal{M}=(p,d) $ 這樣 $ \mathcal{M} $ 被定義在 $ (Y,S,X) $ ， 在哪裡 $ Y $ 是關鍵， $ S $ 消息和 $ X $ 分別是密碼空間。為了進一步簡化問題，我假設 $ Y=M=L=G $ 在哪裡 $ G $ 是任意有限域。
$$ p(y,s)=x,\quad\text{is the encrypted message, which by definition equals $x$} $$
$$ h(y,x)=s,\quad\text{is the decrypted message, which by definition equals $s$} $$
所以，確實 $ (y,x) $ 被定義為僅與一個相關聯 $ s $ 因此 $ p(y,\cdot) $ 根據定義是雙射的。要回答他們是如何關聯的問題，當有人知道兩者時 $ x $ 和 $ y $ , 那麼確實 $ x\oplus_{G} y=s $
為了解密消息，我們有
$$ d(y,x)=d(y,g(y,s))=y\oplus_G x=s $$
在哪裡 $ \oplus_{G} $ 是操作 $ + $ 正如它在有限域中定義的那樣 $ G $ . 因此，我們已經表明，您要求的計算，根據定義是成立的。
$ \textbf{Proposed scheme:} $ 我可以在這裡使用以下共享方案嗎：而不是共享秘密 $ s $ 我通過生成密碼來劃分加密消息的密鑰 $ k $ 密鑰並且只有當有人知道所有密鑰和生成的一個程式碼時，她才會知道這個秘密 $ s $ - 讓你分享 $ k $ 分享這樣的 $ y=\sum_{i=1}^k y_i $ 在沙米爾的計劃中 $ y_i $ 是隨機變數，它們都是獨立的並定義了另一個密碼 $$ p:S\times(\Pi_{i\in K}Y)\to X $$使得 $ k+1 $ -向量 $ \left(i.e. (s,y_1,y_2,\cdots,y_k)\right) $ 與一個相關聯 $ s $ 因此，只有當所有玩家進行通信並添加他們的消息時，消息才會被解密（即重建） $ k+1 $ 股份，即 $ s=x\oplus\sum_{i=1}^ky_i=x\oplus y $
這個方案是一些眾所周知的方案嗎？
這個方案是一些眾所周知的方案嗎？
這似乎是眾所周知的 $ (n,n) $ 秘密共享方案，使用群運算（注意：您說的是有限域；但是由於您從不使用乘法運算，因此它在任何有限群上都一樣有效
$$ 1 $$). 那是：
- $ n-1 $ 的秘密是隨機組元素 $ r_i $
- 最後一個組元素是 $ r_{n-1} = s - \Sigma_{i=0}^{n-2} r_i $
- 鑑於 $ n $ 分享 $ r_i $ , 共享秘密 $ s = \Sigma_{i=0}^{n-1} r_i $
很明顯，隨著 $ n-1 $ 的股份，你沒有得到任何資訊 $ s $ .
這是不久前向您展示的 xor 共享方案的簡單擴展；是的，這是眾所周知的。
$$ 1 $$：它在非阿貝爾群中確實有效，但是你必須小心排序，無論如何，我們很少在加密中使用非阿貝爾群。