為什麼ppp和qqq必須在 RSA 中有所不同？
使用 RSA 加密時，解密消息和初始消息可能相同 $ p $ 和 $ q $ 是相同的。那麼為什麼它們總是不同的呢？
因為保理 $ n $ 在哪裡 $ n=pq $ 和 $ p=q $ 真的，真的很容易，取平方根。如果你可以考慮 $ n $ , 你可以破解 RSA。因此，有 $ p=q $ 不利於 RSA 的安全性。
RSA 的工作時間 $ \operatorname{GCD}(e,\varphi(N))=1 $ ， 在某種意義上說 $ (m^e)^d \equiv m \pmod N $ . 即使部分或全部因素 $ n $ 相同或 $ N $ 是素數。
但是如果攻擊者知道你選擇了 $ N=p^2 $ , 他們可以簡單地考慮 $ N $ 通過計算平方根。所以選擇不安全 $ N $ 像那樣。
但是請注意，您需要調整歐拉函式的計算 $ \varphi(N) $ 如果有重複的因素：
$ \varphi(p_1^{k_1} \cdot … \cdot p_n^{k_n})=\prod\limits_{i=0}^n p_i^{k_i-1} (p_i-1) $ 在哪裡 $ p_i $ 是不同的主要因素 $ N $
在哪種情況下 $ N=p^2 $ 解決了 $ p(p-1) $ 並不是 $ (p-1)^2 $ . 所以如果你錯誤地計算 $ d $ 使用 $ e\cdot d \equiv 1 \pmod {(p-1)^2} $ 代替 $ \pmod{p(p-1)} $ 它行不通。
你的練習要求你證明 $ e\cdot d \equiv 1 \pmod {(p-1)^2} $ 正確解密時 $ n=p^2 $ . 然後它聲稱：
（這說明了為什麼 RSA 需要不同的素數）
但是這種失敗只是由於計算不正確 $ \varphi $ 而不是因為 RSA 需要不同的素數。
許多 RSA 實現和標準僅支持以下常見情況： $ N $ 是兩個不同素數的乘積，因此當被要求對此類不尋常的選擇進行操作時，可能會出現異常行為 $ N $ （影響解密和密鑰生成等私鑰操作，而不影響加密等公鑰操作）。