Entropy
香農熵計算：是H(A|R⋅A)=H(一)H(一種|R·一種)=H(一種)H(A|R·A) = H(A)?
假設我生成一個隨機 $ m×m $ 矩陣 $ R $ , 其中每個元素都屬於 $ \mathbb Z_n $ . 我確保 $ R $ 是可逆的 $ \mathbb Z_n^{m×m} $ .
現在我採取非隨機 $ m×m $ 矩陣 $ A $ , 其中每個元素都屬於 $ \mathbb Z_n $ 並且不為零。我現在將它們相乘以獲得 $ R·A $ 並減少 $ R·A $ 模組 $ n $ .
我的問題是關於它的香農熵：是 $ H(A|R·A) = H(A)\ $ ?
嗯，不，一般來說，它不是。這是一個簡單的例子，證明它不是：
假設 $ m=2 $ , $ n \ge 3 $ 和矩陣 $ A $ 可以採用以下兩個值之一：
$ \pmatrix{1&2\cr1&1} $ 有機率 $ 1/2 $ ， 和 $ \pmatrix{1&2\cr1&2} $ 有機率 $ 1/2 $
請注意，第一個矩陣是非奇異的（可逆的），而第二個是奇異的。
在這種情況下， $ H(A) = 1 $
另一方面，如果我們被賦予價值 $ R \cdot A $ ，這個矩陣是非奇異的，如果 $ A $ 是第一個值，如果是單數 $ A $ 是第二個值。因此，價值 $ R \cdot A $ 允許我們得出的值 $ A $ 機率為 1，因此 $ H(A | R \cdot A) = 0 $
如果 $ A $ 被約束為一個可逆矩陣，並且 $ R $ 可以以相等的機率取所有可逆矩陣，則 $ H(A | R \cdot A) = H(A) $ ; 這可以從矩陣乘法是對可逆矩陣的群運算這一事實推斷出來。