空間濾波器可以用來分解合數嗎？
$ Z=(N-XY)^2 $ 是一個具有絕對最小值的曲面 ( $ 0s $ ） 喝 $ Y=N/X $ .
我知道這個問題很幼稚，但是是否可以對這個函式應用有損壓縮濾波器，它只保留離散邊界的值，然後搜尋絕對最小值？
如果答案是否定的，是否有任何線上參考資料描述了這種方法的困難？
後記
有些事情在下面的討論中得到了明確，並且需要比評論中添加的更多空間。
一、這個問題源於3D渲染軟體的互動及其與功能的互動 $ Z=(N-XY)^2 $ （僅針對小 N 進行測試）。相互作用產生一個表面，表示為 $ LC(x,y) $ 以下。
現在讓 $ f(x)=N/x $ ， 和 $ m(x)=\frac{df}{dx}=-N/x^2 $ ，然後線法線 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{x^\prime} $ 是：
$$ (y-f(\mathbf{x^\prime})) + (x-\mathbf{x^\prime})/m(\mathbf{x^\prime}) = 0 $$ 表達 $ y $ 作為一個函式 $ x $ :
$$ y(x) = \frac{N^2-\mathbf{x^\prime}^4}{N\mathbf{x^\prime}} + x\frac{\mathbf{x^\prime}^2}{N} $$ 讓下面的山谷口 $ {\mathbf{x^\prime},f(\mathbf{x^\prime}),z} $ 是：
$$ r(\mathbf{x^\prime},z)=\sqrt{(x-\mathbf{x^\prime})^2+(y(x)-f(\mathbf{x^\prime}))^2} ,,, \text{where} ,, LC(x,y(x))=z $$ 找到合適函式的可能性有多大 $ LC(x,y) $ 這樣 $ r(\mathbf{x^\prime},z) $ 最大時 $ \mathbf{x^\prime} $ 和 $ f(\mathbf{x^\prime}) $ 是整數嗎？
需要注意的一些事項 $ LC(x,y) $ 和 $ r(\mathbf{x^\prime},z) $
- $ r(\mathbf{x^\prime},0) = 0 $ 當且當 $ {\mathbf{x^\prime},f(\mathbf{x^\prime}),0} $ 被渲染（即採樣）；否則 $ r(\mathbf{x^\prime},0) $ 未定義。
- $ r(\mathbf{x^\prime},z) $ 被定義為 $ z>=z_{sat} $ 在哪裡 $ z_{sat} $ 依賴於實現。
- 如果 $ LC(x,y) $ 是完全無損的，那麼 $ r(\mathbf{x^\prime},z) $ 可以計算所有正數 $ \mathbf{x^\prime} $ 和 $ z $ 通過求解二次方程：$$ \sqrt{z}-N+x\frac{N^2-\mathbf{x^\prime}^4}{N\mathbf{x^\prime}} + x^2\frac{\mathbf{x^\prime}^2}{N}=0 $$
我另一個肩膀上的天使說：
尋找數字因數的每一種多項式形式的方法最終都歸結為尋找根式表達式的整數解：
$$ \epsilon = \varepsilon \pm{} \sqrt{\xi^2 \pm N} $$ 因此使用二次或三次空間插值和濾波將不可避免地導致循環論證。
有一些很好的理由說明為什麼沒有嘗試過。
首先，它不是“離散邊界”，而是所有具有整數座標的點 $ (x,y) $ 在雙曲線上 $ xy=N $ 它們是分解的候選者。唯一重要的資訊就是這些點，如果一個人使用你的
$$ (N-xy)^2 $$ 並尋找零，或者如果一個使用 $$ (N/x)-\lfloor N/x\rfloor $$ 並尋找零。 其次，該函式將非常嘈雜，並且鑑於我們對粗略的素數的統計知識，它不太可能被壓縮太多。空間過濾器只能使用全域的、粗略的資訊，否則它們必須表現得像依賴於蠻力搜尋的函式，在這種情況下，不妨扔掉函式、過濾器及其所代表的複雜性，直接使用離散對象，即整數、數字域等。
最後，最先進的因式分解算法使用來自統計和代數領域的大量資訊來優化其執行複雜性，但仍然具有巨大的複雜性，僅僅是因為 $ N $ 太大了，對於我們感興趣的情況， $ N=xy $ 只有一個解決方案：這是當 $ x,y $ 是兩個大小大致相等的素數。