Finite-Field
域乘法的密碼學性質
在閱讀AES-GCM時，我發現有一個乘法 $ \operatorname{GF}(2^{128} $ ）。我的問題是關於它的加密屬性，例如：
- 取一個隨機元素 $ X $ 從 $ \operatorname{GF}(2^{128} $ ) （這不是 $ 0 $ 或者 $ 1 $ ）。乘以一個常數 $ Y $ （例如，在同一欄位上定義的明文， $ Y\neq 0 $ ）。鑑於產品 $ XY $ , 是否可以恢復 $ Y $ （或一些關於 $ Y $ )?
- 如果產品 $ XY $ 滿足一些規律性條件（例如 $ XY=1 $ ), 是否有可能獲得關於 $ Y $ ?
- 如果給出多個這樣的條件，是否有可能獲得關於 $ Y $ ? 我的意思是，說隨機選擇 $ X_i $ 的，產品 $ X_iY $ 是給定的。
如果上述問題難以解決，可能有限域乘法可以作為側通道掩蔽對策的一種方法（至少在理論上）。
你問的是乘法運算 $ GF(2^{128}) $ ; 事實證明，如果我們排除元素 0，那麼對修改後的集合的乘法運算 $ 2^{128}-1 $ 元素是一個組操作；例如，逆存在。
並且，對於任何組操作 $ \odot $ ， 我們有：
- 對於任何元素 $ Y $ ，如果我們將它乘以一個隨機（且獨立）的元素 $ X $ ， 結果 $ X \odot Y $ 是隨機的（並且揭示它不會揭示任何關於 $ Y $ ).
這回答了您的問題一（通過修改您的問題 $ X $ 僅排除 0 元素，不排除 1 元素）。請記住，0 不是組的成員（即使它是欄位的成員；我們在定義組時故意將其排除在外）；相反，1 是組的成員，避免它會洩漏一些資訊，特別是 $ Y $ 不是（因為 $ Y \ne X \odot Y $ )
- 如果兩者 $ X $ 和 $ Y $ 未知，然後揭示 $ X \odot Y $ 不透露有關的任何資訊 $ Y $
這回答了你的第二個問題。
- 揭示 $ X_i \odot Y $ 對於大量隨機 $ X_i $ 價值觀也沒有透露任何關於 $ Y $ .
這回答了你的問題三。
如果上述問題難以解決，可能有限域乘法可以作為側通道掩蔽對策的一種方法（至少在理論上）。
有可能，但並不理想。一方面，我們不得不故意排除 0 值；一個真正的掩蔽實現不能忽略這樣一個可能的值；特別是，如果你有一個 $ Y=0 $ 值，在這種情況下，掩蔽不起作用。在更實際的情況下，屏蔽通常涉及計算逆，而在計算乘法逆時 $ GF(2^{128}) $ 不是那麼難，也不是特別微不足道。