做一世n=jnin=jni^n=j^n為了一世,j∈GF(2q)i,j∈GF(2q)i, j in GF(2^q)和一世≠ji≠ji neq j對於一些n<2q−1n<2q−1n<2^q-1
讓一世,j∈GF(2q) $ i, j \in GF(2^q) $ 和一世≠j $ i \neq j $ 和一世,j≠0 $ i,j\neq0 $ .
有沒有可能一世n=jn $ i^n=j^n $ 對於一些n $ n $ 這樣0<n<2q−1 $ 0 < n < 2^q-1 $ ?
如果答案是否定的，我正在尋找證據，或者尋找方法n $ n $ 如果答案是肯定的。
其實答案是“這樣一個n $ n $ 如果兩者都不存在一世,j $ i, j $ 為 0”。
我們有X2q−1=1 $ x^{2^q-1} = 1 $ 為了X≠0 $ x \ne 0 $ （因為乘法GF(2q) $ GF(2^q) $ 在非零元素上形成一組有序2q−1 $ 2^q-1 $ )，因此如果一世,j≠0 $ i, j \ne 0 $ ,n=2q−1 $ n=2^q-1 $ 是一個答案（如果不一定是最小的答案）。
如果我們添加一個簡單的觀察，如果其中之一一世,j $ i, j $ 為 0，那麼一世n=jn $ i^n = j^n $ 不可能發生；這為我們提供了所有可能值的完整答案一世,j $ i, j $ .
如果您想擴展問題以找到最小的n $ n $ ，那麼如果你知道2q−1 $ 2^q-1 $ . 那是因為如果一世n=jn $ i^n = j^n $ ， 然後n $ n $ 必須是的除數2q−1 $ 2^q-1 $ ; 因此你可以只搜尋除數2q−1 $ 2^q-1 $ .
如果2q−1 $ 2^q−1 $ 是梅森素數，則不存在0<n<2q−1 $ 0 < n < 2^q-1 $ 無論如何都會存在一世,j $ i,j $ 是。但是，如果它是複合的，那麼這樣的一世,j $ i,j $ 將存在（事實上，你可以找到這樣一個一世,j $ i,j $ 對每個非平凡除數n $ n $ 的2q−1 $ 2^q−1 $ ）。如果G $ g $ 是一個生成器，那麼兩個這樣的值是G一種⋅(2q−1)/n $ g^{a\cdot(2^q−1)/n} $ ,Gb⋅(2q−1)/n $ g^{b\cdot(2^q−1)/n} $ 為了0≤一種,b<n $ 0\le a,b<n $