找到特定多項式的循環集
我有一個學校作業，問題在於找到兩個不同多項式的循環集。
我試圖查找有關如何解決這些問題的不同工具，但我很難找到它。
如果有人這麼好心地幫助我，請解決，但也要了解解決此類問題的方法。
問題指出：
確定這些多項式的循環集：
$ x^4 + x^2 + 1 $ 超過 $ F_2 $ .
$ x^3 + x + 1 $ 超過 $ F_3 $ .
謝謝！
這本質上是相當組合的，評論中的建議正是人們將如何做小例子。對於任意多項式，一般結果要復雜得多，但對於原始多項式則簡單。
如果生成多項式 $ f $ 學位 $ d $ 超過 $ F_q $ 是原始的（即， $ f $ 是不可約的，並且根在有序的分裂域中 $ q^d-1, $ ) 則循環長度最大，等於 $ q^d-1 $ 對於任何非零負載，否則是一個零循環。
如果生成多項式 $ f $ 不是不可約的，而是不可約的產物，循環結構會變得非常混亂。
最一般地，形成伴隨矩陣 $ C_f $ 多項式的 $ f $ 學位 $ d, $ 這是一個 $ d\times d $ 多項式 $ F_q. $ 那麼給定度數可以產生的任意循環的長度 $ d $ 多項式除以 $ C_f $ 在一般線性群中 $ GL(F_q,d) $ 的 $ d\times d $ 組運算是矩陣乘法的可逆矩陣。這意味著任何循環的長度都是
$$ q^{k(k-1)/2}(q-1)(q^2-1)\cdots (q^d-1) $$ 這就是我們通常可以說的。
現在我有一些時間，我會把我的評論變成一個答案。
對於像您的作業問題這樣的小案例，您可以手動計算循環集。在您實際使用的任何 LFSR 中，這是不可行的。這個想法只是選擇一個初始值並查看它在 LFSR 變換下的進展情況。您總是知道有固定點 {0}。那麼您不妨從 1 開始。在您的第一個範例中，前幾個值是 $ {1, x, x^2, x^3} $ . 下一個值是 $ x^4 $ ，但是因為我們正在減少 mod $ x^4 + x^2 + 1 $ ， 我們有 $ x^4 \equiv x^2 + 1 $ . 所以接下來的兩個值是 $ {x^2 + 1, x^3 + x} $ . 之後，下一個值再次為 1，循環重複。我們發現的循環有 5 個元素，這是可能的循環長度之一（它們必須除 $ q^n-1 $ = 15)。如果你計算了一個長度為 4 或 6 的循環，你就會知道你在某個地方犯了錯誤。選擇一個我們還沒有見過的元素，然後重複這個過程。 $ {x+1, x^2 + x, …} $ .
第二個例子的過程是相同的，只是數學有點不同。我們再次出發 $ {1, x, x^2} $ . 自從 $ x^3+x+1\equiv 0, x^3\equiv 2x+2 $ , 循環繼續 $ {2x+2, 2x^2+2x} $ . 此範例中的欄位將包含 27 個元素。由於我們的循環比 2 長，它的長度為 13 或 26。