同態映射來自FpnFpnF_{p^n}至從pn從pnZ_{p^n}
是否有可能從 $ F_{p^n} $ 至 $ {\mathbb Z}_{p^n} $ 保留加法和乘法運算符？
或者如果我們放寬要求，我們是否可以從乘法群中得到同態映射 $ F_{p^n}^* $ 至 $ {\mathbb Z}_{p^n}^* $ 哪個保留乘法？
“是否有可能從 $ \mathbb F_{p^n} $ 至 $ \mathbb Z_{p^n} $ 保留加法和乘法運算符？”
除了同構時 $ n=1 $ ，只有非常無聊的映射將所有內容都發送到 0。考慮乘法恆等式 $ \mathbb F_{p^n} $ . 我們把它寫成 1 並考慮我們假定的同態 $ \phi $ . 我們看到通過加法添加 $ k $ 1的副本，對於任何整數 $ k $ 我們有 $ \phi(1+\cdots+1)=k\phi(1)\mod {p^n} $ 尤其是與 $ k=p $ 我們看到 $ p\phi(1)=\phi(0)=0 $ 以便 $ \phi(1)=cp^{n-1} $ 對於一些 $ 1\le c\le p $ . 此外，通過乘法我們有 $ \phi(1)=\phi(1\cdot 1)=\phi(1)\phi(1) $ 以便 $ \phi(1)=1 $ 或者 $ 0 $ . 我們得出結論 $ c=p $ 和 $ \phi(1)=0 $ （在這種情況下除外 $ n=1 $ ）。此外，對於任何 $ \alpha\in\mathbb F_{p^n} $ $ \phi(\alpha)=\phi(1\cdot\alpha)=\phi(1)\phi(\alpha)=0 $ .
“或者如果我們放寬要求，我們能否從乘法群得到同態映射？ $ \mathbb F_{p^n}^\times $ 至 $ \mathbb Z_{p^n}^\times $ 哪個保留了乘法？”
只是稍微不那麼無聊。注意 $ |\mathbb F_{p^n}^\times|=p^n-1 $ 和 $ |\mathbb Z_{p^n}^\times|=p^n-p^{n-1} $ . 任何同態的圖像的大小都必須除以這兩者的GCD，即 $ p-1 $ . 我們看到圖像必須是 $ (p-1) $ 1 in 的根 $ \mathbb Z_{p^n} $ . 現在選擇任何乘法生成器 $ \mathbb F_{p^n}^\times $ 叫這個 $ \alpha $ . 確切地說有 $ p-1 $ 群同態取決於哪個 $ (p-1) $ 根 1 等於 $ \phi(\alpha) $ . 核心將是 $ \ell $ 權力在 $ \mathbb F_{p^n}^\times $ 在哪裡 $ \ell|(p-1) $ 是乘法順序 $ \phi(\alpha) $ 在 $ \mathbb Z_{p^n}^\times $ .