如何計算反演函式 S:S:mathbb{F}{2^n}rightarrow mathbb{F}{2^n},其中 S(x)=x^{-1}
S盒定義為廣義反函式 $ S:\mathbb{F}{2^n}\rightarrow \mathbb{F}{2^n} $ ,在商環中 $ \mathcal{R}:=\mathbb{F}_{2^n}[X]/(X^{2^n}-X) $ 和 $ S(x)=x^{-1} $ ， 是正確的 $ S(X):=X^{2^n-2} $ . 但是歐拉定理說 $ x^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n} $ ,所以答案是 $ x^{\varphi(n)-1}=x^{2^{n-1}-1}\equiv x^{-1}\pmod{n} $ ，為什麼是 $ S(X):=X^{2^n-2} $
歐拉定理是應用於群的拉格朗日定理的一個特例 $ (\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times $ . 可以應用在案例中 $ m=2^n $ 在哪裡 $ |(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times|=2^{n-1} $ 推導出任何奇數 $ x $ $ x^{2^{n-1}-1}\equiv x^{-1}\pmod{2^n} $ . 但是，這與組不同 $ \mathbb F_{2^n}^\times $ . 在這種情況下 $ |\mathbb F_{2^n}^\times|=2^n-1 $ 我們可以用它來推斷任何元素 $ x\in\mathbb F_{2^n}^\times $ 我們有 $ x^{2^n-2}\equiv x^{-1} $ . 要點 $ \mathbb F_{2^n} $ 經常被寫成一些變數的多項式，比如說 $ X $ ， 超過 $ \mathbb F_2 $ 模一些不可約多項式，比如說 $ f(X) $ 學位 $ n $ . 因此，另一種表達方式是說對於任何多項式 $ g(X) $ 互質於 $ f(X) $ 超過 $ \mathbb F_2 $ 我們有 $$ g(X)^{2^n-2}\equiv g(X)^{-1}\pmod{\langle 2,f(X)\rangle}. $$