如何使用 Frobenius 求平方根高飛_(2米)GF(2米)GF(2^m)
給定一個多項式 $ x $ 有學位 $ n $ 在 $ GF(2^m) $ , $ 1 < n < m $ , 將任何生成器 $ GF(2^m) $ 當應用 Frobenius 自同構來確定平方根時就足夠了 $ x $ 如該相關問題的答案中所述？為什麼？（歡迎軼事或嚴格的證據）。
例如，給定 $ f(x) = x^2 + 1 $
通過反複試驗， $ x^{2^{n-1}} $ 帶發電機 $ x^{257} + x^{12} + 1 $ 和 $ x^3 + x + 1 $ , 都產生 $ x + 1 $ .
當然，對於一個高效的算法，度數越小，速度越快。 $ x^{2^{n-1}} $ 計算。但是為可能需要（或根據需要）的每個學位計算一個生成器將是一項艱鉅的任務。相反，假設人們可以依賴一般情況，即“任何度數大於 $ x $ 會做”，可以使用來自這樣的來源的表格（原始二進制多項式表 - M. Zivkovic 等人）。
我對有限領域非常陌生，並且沒有掌握所有術語，更不用說理解正確了，所以我希望這個例子能澄清我的問題。
編輯：背景
考慮 Galios 關係： $ S_j = S_0 x^j mod P $ , 其中 S、x 和 P 都是係數在 GF(2) 中的多項式。 $ P $ 在這種情況下不是不可約的。所以，要確定週期 $ P $ ，它必須被分解，並且通過找到的導數 $ P $ 為 0，我們知道存在一個正方形。引用的答案說，通過 Frobenius 自同構，多項式的平方根是 $ x^{2^{n-1}} $ . 但在這種情況下， $ n $ 和 $ r(t) $ 沒有給出。可以專門為以下情況選擇它們嗎？ $ P $ ? 例如，可以 $ n $ 設置為 $ degree(P) + 1 $ 並且可以 $ r(t) $ 被選為 $ degree(n) $ 從已知的不可約數表中？
不，您注意到的關係通常不起作用，並且很容易找到反例。例如使用以下兩種表示 $ \mathbf F_8 $ .
在 $ \mathbf F_2[X]/(X^3+X^2+1) $ ，（的陪集）的平方根 $ X $ 是 $ X^2+X+1 $ ，而在 $ \mathbf F_2[X]/(X^3+X+1) $ 這是 $ X^2+X $ .