為什麼有限域在密碼學中如此重要？
我剛剛進入密碼學領域，目前正在通過嘗試實現一些加密算法來學習。
目前正在實施 Shamir 秘密共享算法，我注意到有限域不斷出現。
我只是不明白為什麼它們是相關的。
我看到的一件事是他們可以確保你的結果都不是小數，所以沒有捨入錯誤，但我強烈懷疑這就是它們如此重要的原因。如果有人可以讓我直覺地了解為什麼需要它們，那就太好了。
此外，它們是有限的事實是否會損害安全性？
這個問題的一個特別重要的話題是編碼大小。這來自以下“微不足道的事實”：
對於無限集 $ A $ , 不存在一些 $ s\in \mathbb{N} $ 這樣每一個 $ a\in A $ 可以描述為 $ s $ 位。
人們可以通過使用可變長度編碼來解決這個問題，但這很容易導致安全問題——被動地獲取一些關於某些編碼元素大小的資訊可能有點容易。如果這給出了對什麼元素進行編碼的一些指示，那就太糟糕了。因此，如果您希望密碼系統中的對象具有一些統一大小的編碼，那麼您將被有限的對象所困。
在有限結構中工作的一個（較小的）好處是存在均勻分佈。這是：
集合上的最大熵分佈
雙射下不變
- 這包括，對於一組 $ G\ni g $ , 雙射 $ x\mapsto x+g $ ，這是非常常見的。
這些屬性足以顯示一次性便箋簿的安全性，這是相當基本的，並且人們經常想要吸引它（通常在用理想化的對象替換“真實”對象之後，例如用隨機函式替換 PRG）。
對於某些無限組，可以得到具有相似屬性的分佈，特別是Haar 度量。但它在技術上要復雜得多，因此均勻分佈如此簡單（同時具有很好的特性）這一事實絕對是有利於有限域的一點，儘管在我看來不如固定編碼大小點重要。
這些都不能回答為什麼有限域，而不僅僅是有限代數結構。但通常有限域僅用作有限群的來源，例如 $ \mathbb{F}_p^\times $ . 有人可能會爭論為什麼要組而不是更弱的代數結構，但我對這個話題只有模糊的觀點。
也許最後一點是“為什麼不是有限結構”——比如 $ (\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z})^\times $ 為了 $ p, q $ 的 $ \approx 1024 $ bits 大得離譜，雖然它在技術上不是無限的，但它“基本上”是這樣的——例如，大約有 $ 2^{270} $ 宇宙中的原子，比 $ 2^{2048} $ ，所以在某種意義上它“比我們的宇宙大”（當然仍然是有限的）。雖然像 $ \mathbb{R} $ 是無限的，如果一個導致舍入誤差（正如你提到的）你可能正在使用浮點近似值，通常最多使用 $ 128 $ 位，因此實際上（隱式）使用比密碼學家使用的更小的有限集。