為什麼伽羅瓦域必須有一個順序pnpnp^n在哪裡ppp是素數？

昨晚我在一本密碼學書中讀到了這一點。我對此有預感，但我不能完全確定。我認為這與仿射密碼的情況類似，其中乘法因子必須與字母表的大小相對素數，以便函式是滿射的。顯然，出於實際目的，它必須是 $ p^n $ 在哪裡 $ p $ 是數係統的arity 和 $ n $ 是記憶體單元的位寬。但是是否也有理論基礎要求伽羅瓦域的大小 $ p^n? $

修復有限域 $ k $ 的 $ q $ 元素，具有加性標識 $ 0_k $ 和乘法恆等式 $ 1_k $ .

1. 對於任何整數 $ n $ ， 讓 $ [n] $ 成為 $ n $ -折疊總和 $ 1_k $ . 清楚地 $ [a + b] = [a] + [b] $ 和 $ [a\cdot b] = [a] \cdot [b] $ . 自從 $ k $ 是有限的，對於任何 $ n $ , 在序列中 $ [a] $ , $ [a + 1] $ , $ [a + 2] $ 等，必須有重複；讓 $ p $ 是最小整數，使得 $ [a] = [a + p] = [a] + [p] $ . 然後 $ [p] = 0_k $ ，並且在序列中 $ [1], [2], [3], \ldots, [p] $ , 元素 $ [p] $ 是第一個零元素。
2. $ p $ 稱為場的特性。認為 $ p $ 是複合的，與因素 $ 1 < a \leq b < p $ 以便 $ p = a\cdot b $ . 然後 $ 0_k = [p] = [a\cdot b] = [a] \cdot [b] $ ， 但 $ [a] $ 和 $ [b] $ 是非零的，因為 $ [p] $ 是序列中的第一個零元素 $ [1], [2], [3], \ldots, [p] $ . 這在一個領域是不可能的，所以 $ p $ 必須是素數。
3. 套裝 $ {[0],[1],[2],\ldots,[p-1]} $ 形成一個子域 $ k_p $ 的 $ k $ ，因為它是在加法和乘法下封閉的。因此擴展欄位 $ k $ 在子域上形成一個向量空間 $ k_p $ . 由於是有限的，這個向量空間必然是有限維的 $ n $ ，因此恰好有 $ p^n $ 元素。因此 $ q = p^n $ 對於一些 $ n $ .

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/59576