GCM多項式是如何找到的？
據我了解，沒有通用方法可以列舉特定有限域中的不可約多項式，這些多項式在性質上類似於整數上的素數。
GCM 模式有限域有階 $ 2^{128} $ ，它與 AES 的塊大小匹配，並使用不可約多項式（參見源第 8 頁）
$$ x^{128} + x^7 + x^2 + x + 1 $$ 為什麼源 PDF 沒有詳細說明選擇以及如何找到它？它甚至沒有證明多項式是不可約的。
對於 GCM 模式多項式，他們很可能只是在 table 中查找它。低權不可約多項式 $ {\rm GF}(2) $ 足夠有用，以至於人們花時間編寫它們的列表；我在上面連結的那個（Seroussi 1998）經常被引用，並且確實包含 GCM 多項式。
當然，這只是將問題轉變為如何首先編譯此類列表。正如上面連結的論文所指出的，基本過程是簡單地生成連續的低權重多項式並測試它們的不可約性。
Seroussi 用來生成連結表的具體測試顯然是基於 Victor Shoup 的 NTL 庫，現在可以在這裡找到；該
GF2XFactoring庫中的模組提供了一個IterIrredTest()實現“基於 DDF 的迭代確定性不可約性測試”的函式。BuildIrred()方便的是，還有一些BuildSparseIrred()函式可以用於查找給定次數的“規範”不可約多項式 $ {\rm GF}(2) $ .有關不可約性測試的實際工作原理的更多詳細資訊，您可能需要查看math.SE 上的這個答案以及從中連結的這些幻燈片（Brent & Zimmermann 2008）。特別是，根據幻燈片，對於大多數實際目的（即對於次數小於 1 億左右的多項式）而言，似乎是測試多項式是否為 $ p(x) $ 學位 $ d $ 是不可約的 $ {\rm GF}(2) $ 就是簡單地用重複平方和模約簡來測試是否
$$ x^{2^d} \equiv x \pmod{p(x)}. $$ （Ps。顯然還有一篇關於有限域上多項式因式分解的維基百科文章，您可能會發現它很有用。）