描述雙線性映射的簡單範例
符號： $ \mathbb{G} $ 是一個加法基團並且 $ \mathbb{G}_T $ 是素數的乘法群 $ q $ .
雙線性映射 $ e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T $ 必須滿足兩個性質。
$ e(aP,bQ) = e(P,Q)^{ab} $ 對所有人 $ P,Q \in \mathbb{G} , a,b \in \mathbb{Z}_q $
$ e(P,P) \ne 1_{\mathbb{G}_T} $ 對所有人 $ P \in G $
除了以上兩個之外，它還必須是可計算的。
這種雙線性配對有什麼簡單的例子嗎？
我盡可能在網際網路上搜尋，但沒有找到。
我想要這樣的例子 $ e(x,y) = xy \mod n $ （這不是一個有效的例子）。
注：正在考慮的集合 $ \mathbb{G},\mathbb{G}_T $ 必須至少有四個元素。
https://math.stackexchange.com/questions/1380004/simple-example-for-bilinear-mapping的重複問題
一個玩具範例是這個簡單的地圖 $ \mathbb{G} = \mathbb{Z}/5 $ 至 $ \mathbb{G}_T = \mathbb{Z}^*/11 $ ， 如下：
$$ e(x,y) = 3^{xy} \bmod 11 $$ 很容易驗證兩個方程都成立（除了 $ e(0,0) = 1 $ ; 這實際上是第一個等式的必然結果，因此我認為這是一個可接受的例外）。
當然，即使你把它放大到非玩具大小，這種特殊風格的雙線性映射在密碼學上也不是很有趣。但是它確實回答了您的問題。
不，沒有（就目前所知）。來自 Ben Lynn 關於該主題的博士論文：
只有一種已知的數學設置存在理想的配對：超橢圓曲線。