子組生成器相對於復合階的組生成器
如果我有一個群 $ \mathcal{G} $ 有秩序的 $ N=npq $ 和子群 $ \mathcal{G_n,G_p,G_q} $ 有秩序的 $ n $ , $ p $ , $ g $ 分別和如果 $ g $ 是一個生成器 $ \mathcal{G} $ 那為什麼 $ g^{nq} $ 是一個生成器 $ \mathcal{G_p} $ , $ g^{np} $ 是一個生成器 $ \mathcal{G_q} $ 和 $ g^{pq} $ 是一個生成器 $ \mathcal{G_n} $ ? 我正在嘗試理解一篇研究論文
每一個元素 $ g $ 在一組 $ G $ 生成一個子組 $ G $ 有秩序的 $ r $ ， 在哪裡 $ r $ 是最小（非零）整數，使得 $ g^r = 1 $ . 此外，如果 $ g^s = 1 $ 對於一些積極的價值 $ s $ ， 然後 $ s $ 是的倍數 $ r $ . 最後， $ r $ 必然劃分的順序 $ G $ （即元素的數量 $ G $ ).
因此，如果您的團體訂單是 $ N = ab $ 對於兩個整數 $ a $ 和 $ b $ ， 然後 $ (g^a)^b = g^N = 1 $ ，因此的順序 $ g^a $ 是一個除數 $ b $ . 如果 $ b $ 是素數，那麼 $ g^a $ 只能是 $ 1 $ 或者 $ b $ . 然而，只有 $ 1 $ 可以有訂單 $ 1 $ ， 所以 $ g^a $ 可以有訂單 $ 1 $ 除非 $ g^a = 1 $ .
在你的情況下，我想你設想 $ N= npq $ 在哪裡 $ n $ , $ p $ 和 $ q $ 是三個不同的素數。因此， $ g^{np} $ 只能有訂單 $ 1 $ 或者 $ q $ . 但這不可能 $ 1 $ 因為 $ g $ 產生整個 $ G $ ，不是嚴格的子群。結論如下。