Hill-Cipher
希爾密碼中的輔因子矩陣
我一直在閱讀有關 Hill cipher 的這些幻燈片。
它說 K 的值如下：
$$ \begin{equation} K= \begin{pmatrix} 11&8\3&7 \end{pmatrix} \end{equation} $$ 現在我需要計算 $ K^{-1} $ ，因此我使用輔因子計算伴隨矩陣。據我所知，它應該是：
$$ \begin{pmatrix} 7&-3\-8&11 \end{pmatrix} $$ 但在幻燈片中似乎是：
$$ \begin{pmatrix} 7&-8\-3&11 \end{pmatrix} $$ 這與我計算的不同，我做錯了什麼？
我認為輔助矩陣是輔因子矩陣的轉置。
（順便說一句，我不認為這是一個加密問題。）
在任何（交換酉）環上 $ R $ , 的倒數
$$ E=\begin{bmatrix} a&b\c&d\end{bmatrix}, a,b,c,d \in R $$（如果存在），可以通過首先計算行列式來找到 $ f:=ad-bc $ . 逆存在當且 $ D $ 是可逆元素 $ R $ , 所以如果 $ \exists f’ \in R $ 和 $ ff’=1 $ . 然後 $$ E^{-1} = \begin{bmatrix} df’&-bf’\ -cf’& af’ \end{bmatrix} $$作為直接計算驗證。 在你的情況下，決定因素是 $ 7\cdot 11 -3\cdot 8 = 53 = 1 \pmod{26} $ （所以在 $ R= \mathbb{Z}_{26} $ 我們有 $ f = f’ = 1 $ 上式中）。